Regla de la cadena para funciones de d variables

Question

Estoy leyendo esta prueba y me quedo atascado en el paso en el que el autor obtiene la fórmula para $g'(t)$ . ¿Podría alguien escribir los pasos a seguir?

Answer 1

Dejemos que $z:=x+t(y-x)$ para que $z_i=x_i+t(y_i-x_i)$ .

Tenemos

$$g(t)=f(z),$$

$$g'(t)=\frac{dg(t)}{dt}= \frac{\displaystyle\sum_i\dfrac{\partial f(z)}{\partial z_i}{dz_i}}{dt}=\sum_i\frac{\partial f(z)}{\partial z_i}\frac{dz_i}{dt}=\sum_i\frac{\partial f(z)}{\partial z_i}(y_i-x_i).$$

Answer 2

Claro que sí. $\newcommand{\R}{\mathbb{R}}$

Usted tiene $$ g'(t) = \frac{d}{dt} g(t) = \frac{d}{dt} f(x + t(y-x)), $$ donde necesitamos la regla de la cadena para la última expresión ya que es una composición de dos funciones. Permíteme denotar con $D$ la derivada (diferencial) entonces en general la regla de la cadena para $\varphi : \R^n \to \R^m$ y $\psi : \R^l \to \R^m$ , donde $\varphi$ y $\psi$ son $C^1$ es $$ D \phi \circ \psi(x) = (D\varphi)(\psi(x))\circ (D\psi)(x). $$ Obsérvese que para una función 1-d $t \mapsto g(t)$ $D g = \frac{d}{dt}g$ . Ahora en su caso tenemos: $$ g'(t) = \frac{d}{dt} f(x + t(x-y) = (Df)(x+t(y-x))\circ \frac{d}{dt} (x+t(y-x)). $$ Supongo que has oído hablar del jacobiano. Entonces el mapa lineal $Df$ puede asociarse a esa matriz jacobiana y la composición $\circ$ en realidad se convierte en una multiplicación de matrices. Así que $$ Df = (\frac{\partial}{\partial x_1} f, \dots, \frac{\partial}{\partial x_d} f) =: (f_{x_1} \dots f_{x_d}), $$ que es un $1\times d$ matriz y $$ \frac{d}{dt} (x+t(y-x)) = (y -x) $$ que es un $d\times 1$ matriz. Así que haciendo este producto matricial se obtiene $$ (Df)(x+t(y-x))\circ \frac{d}{dt} (x+t(y-x)) = \big(f_{x_1} \dots f_{x_d}\big)(x+t(y-x)) \cdot (y-x) = \sum_{i=1}^d f_{x_i}(x+t(y-x)) \cdot(y_i - x_i), $$ donde este último $\cdot $ es en realidad la multiplicación habitual en los números reales.