EDP parabólica con condiciones de contorno no nulas

Question

Estoy tratando de resolver la ecuación diferencial parcial $\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ en la plaza $[0,\pi] \times [0,b[$ con condiciones iniciales:

$u(0,t) = 0$

$u(x,0) = \sin(x)$

$u(\pi,t) = \sin(t)$

Sé que tengo que utilizar la separación de variables, y sé exactamente cómo resolverlo cuando $u(\pi,t) = 0$ porque entonces tengo $X(0) = X(\pi) = 0$ . Pero sepa que tenemos $X(\pi)T(t)=sin(t)$ que me parece inútil. ¿Pueden ayudarme?

Answer 1

Encuentra cualquier función que satisfaga las condiciones de contorno, como $\dfrac{1}{\pi}\,x\sin t$ y que $$ u(x,t)=v(x,t)+\frac{1}{\pi}\,x\sin t. $$ Entonces $v$ satisface $$ \begin{cases} v_t-v_{xx}=-\dfrac{1}{\pi}\,x\cos t,\\ v(x,0)=\sin x,\\ v(0,t)=v(\pi,t)=0. \end{cases} $$ Esto se puede resolver por separación de variables buscando una solución de la forma $$ v(x,t)=\sum_{n=1}^\infty v_n(t)\sin(n\,x). $$