¿El polinomio irreducible queda reducido por la precomposición?

Question

Dejemos que $f(x),g(x)$ sean polinomios en $\mathbb{Q}[x]$ . Si $\mathrm{deg}(f)\geq2$ y $f$ irreducible, es la composición $f(g(x))$ siempre reducido (no tiene factores irreducibles repetidos)?

(Si no preguntamos $\mathrm{deg}(f)\geq2$ podemos tomar $f(x)=x-1, g(x)=x^2+1$ si no preguntamos $f$ sea reducible, podemos tomar $f(x)=(x-1)x$ y $g=x^2+1$ .)

Answer 1

Puede haber repetido el factor irreducible. Tome $f(x)=x^2+1$ y $g(x)=x+f(x) h(x)$ para que $g'(i)=0$ . Entonces $f^2$ divide $f(g) $ .