Hago una pregunta para mi hermano. Acaba de empezar su curso de álgebra no hace mucho y tiene una pregunta en la que está atascado (acaba de empezar el curso así que todo su conocimiento está basado en matrices y sus propiedades).
Necesito encontrar una Matriz $A_{2x2} \not=0$ que satisface $A^2=0$ .
Además, necesito encontrar un Matrix $A_{3x3}$ que satisface $A^3=0$ y $A^2\not=0$ .
Al final tengo que generalizar el problema a $A_{n \times n}$ (encontrar una matriz $A_{n \times n}$ que satisfacen $A^{n}=0$ y $A^{n-1}\ne0$ ).
En la primera pregunta escribí $A$ como
\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}
después de multiplicar $A$ con sí mismo descubrí que cada matriz $2x2$ en forma de
\begin{bmatrix} x & y \\ -\frac{x^2}{y} & -x \end{bmatrix}
cuando se multiplica por sí mismo es igual a cero.
En la segunda pregunta traté de hacer lo mismo pero se me hizo demasiado largo y pronto, así que pensé que estaba haciendo algo mal. $A$ son muy complicados de tratar (9 en total).
Me las arreglé para encontrar algunas matrices que satisfacen $A^3=0$ como
\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
pero sigo queriendo saber cómo debo encontrar las condiciones para que se produzca.
Sobre la tercera pregunta, supongo que tengo que terminar la segunda para empezar a pensar en la solución, pero todavía no veo por dónde debo empezar.
