¿Cómo demostrar que el conjunto de subniveles es compacto?

Question

Dejemos que $x_1$ y $x_2$ sean dos vectores en $\mathbb{R}^2$ . Consideremos una función objetivo $$V(x)=(\|x_1\|^2-d_1^2)^2 + (\|x_2\|^2-d_2^2)^2$$ donde $d_1$ y $d_2$ son dos constantes positivas, y el vector $x=[x_1^T,x_2^T]^T\in\mathbb{R}^4$ . Definir el conjunto de subniveles $$\Omega_c=\{x\in\mathbb{R}^4 \ |\ V(x)\le c\}$$ ¿Puede alguien mostrar cómo probar este conjunto $\Omega_c$ es compacto (cerrado y acotado)? Gracias.

Answer 1

Sugerencia: Para el cierre comprueba la continuidad de $V$ para la acotación, comprueba lo que ocurre con $V(x)$ para $\|x\|\to\infty$ .