Expresar la secuencia en tipo cerrado

Question

Dada la secuencia $a_n = \sqrt{2+a_{n-1}}$ . ¿Hay alguna manera de encontrar una forma cerrada para esta secuencia?

Gracias por su tiempo.

Answer 1

Si $a_0=0$ entonces, $$a_n=2\cos(\frac{\pi}{2^{n+1}})=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+....\sqrt{2}}}}$$

Donde hay $n$ $2's$ en el lado derecho.

Esto se puede demostrar fácilmente mediante el uso de la identidad trigonométrica $$\cos(2x)=2\cos(x)^2-1$$

Tomando el límite como $n$ tiende a infinito muestra que el radical anidado converge claramente a dos,

$$\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to \infty}2\cos(\frac{\pi}{2^{n+1}})=2$$

Answer 2

Se nos da $a_n = \sqrt{2+a_{n-1}}$ .

Asumiré que $0 \le a_0 < 2$ .

Si $a_{n-1} < 2$ , $a_n < \sqrt{2+2} = 2$ , por lo que todas las $a_n < 2$ .

Desde $a_1 = \sqrt{2+a_0} < 2$ , todo $a_n < 2$ .

Dejemos que $d_n = 2-a_n$ , así que $a_n = 2-d_n$ .

$2-d_n = \sqrt{2+(2-d_{n-1})} =\sqrt{4-d_{n-1}} $ o, ya que $1-x < \sqrt{1-x} < 1-x/2$ si $0 < x < 1$ , $d_n = 2-\sqrt{4-d_{n-1}} = 2-2\sqrt{1-d_{n-1}/4} < 2-2(1-d_{n-1}/4) = d_{n-1}/2 $ así que $d_n \to 0$ geométricamente, así que $a_n \to 2$ .