Métrica sobre vectores tangentes al espacio tangente

Question

Dejemos que $M$ sea una variedad riemanniana y $p$ sea un punto de $M$ .

Dejemos que $v$ , $v'$ sean vectores tangentes a $M$ en $p$ . Por supuesto, tenemos $\langle v,v'\rangle_p$ definido.

Dejemos que $u$ , $w$ sean vectores tangentes a $T_p(M)$ en $v$ .

¿Cómo es $\langle u,w\rangle_v$ ¿se define? ¿Cómo se relaciona con la métrica de $M$ ?

Answer 1

Como tú dices, $T_p(M)$ es un espacio vectorial, y los vectores tangentes a $v$ son sólo $u+v$ y $w+v.$ El producto escalar natural en el espacio tangente es, por tanto, uno heredado de $T_p(M)$ (si piensa en $T_p(M)$ como "un espacio vectorial y una variedad riemanniana") que, por lo tanto, es exactamente la dada por la métrica riemanniana sobre $M$ en $p.$