Dada una variedad abeliana $ A $ definido sobre un campo algebraicamente cerrado de característica $ 0 $ , define Mumford $ Pic^0(A)$ = $L \in Pic (A) | T^*_x{L}L = L \ for \ all \ x \ in A$ , donde $T_x$ es la traslación por x.
Me pregunto si esto coincide con la definición habitual: $ Pic ^ 0 ( A )$ es el componente conexo de la identidad en $ Pic (A) $ ?
Si no me equivoco, has copiado mal la definición de Mumford: debería ser el conjunto de todos los haces de líneas $L$ tal que $T_x^* L \cong L$ para todos $x \in A$ .
Una vez hecha esta corrección: sí, esto resulta ser la componente conectada de la identidad en $\operatorname{Pic}(A)$ . Si lees más adelante en el libro, probablemente lo descubrirás. Si no, prueba, por ejemplo, las notas de Milne sobre las variedades abelianas.
Aunque probablemente sea un poco tarde, me gustaría señalar que se puede encontrar una hermosa exposición de la teoría del esquema de Picard en el artículo de estudio de S. L. Kleiman con el mismo título, que es la parte 5 del volumen "Fundamental Algebraic Geometry" editado por Fantechi y otros. y publicado por la AMS.
En concreto, su pregunta se responde con detalle en $\S 9.5$ ("El componente conectado de la identidad").
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
