Acabo de empezar a estudiar la teoría algebraica de los números, y me he encontrado con que admito a regañadientes la definición de "integralidad". Como dice la definición, un elemento se llama "integral" si es una raíz de un polinomio mónico. Así, el cierre integral de Z en $Q(\sqrt5)$ se compone de elementos de la forma $(a+b\sqrt5)/2$ . Pero encuentro números de la $a+b\sqrt5$ más natural que $(a+b\sqrt5)/2$ . Entonces, ¿por qué los matemáticos utilizan $Z[(1+\sqrt5)/2]$ en lugar de $Z[\sqrt5]$ ? Mi opinión es que, campos como $Z[\sqrt5]$ son difíciles de examinar si son ufd, pero por otro lado, campos como $Z[(1+\sqrt5)/2]$ son dominios dedekind, que son más fáciles de controlar (ya que en un dominio dedekind PID y UFD son la misma cosa.) ¿Alguien puede traerme la intuición correcta pero fácil de la integralidad?
Respuestas
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Así es como Swinnerton-Dyer motivó la definición moderna de número entero:
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Para reparar el fallo de la factorización única en los dominios anteriores $\Bbb Z$ que fue históricamente un importante factor de motivación para el desarrollo de la teoría algebraica clásica de los números, se vio que la integralidad era una característica importante a tener en la transición a los ideales.
En particular, para el cuadrado libre $D\equiv1$ mod $4$ el anillo del número $\Bbb Z[\sqrt{D}]$ está "perdido" $\frac{1+\sqrt{D}}{2}\in{\cal O}_{\Bbb Q(\sqrt{D})}$ que conduce a un ideal que no admite una factorización única en ideales, a través de $(2,1+\sqrt{D})$ .
Proporciono más detalles aquí .
Para tener alguna esperanza de factorización única debemos pasar al cierre integral, ya que los (sub)anillos no cerrados integralmente no son UFDs (recordemos Los UFD están cerrados integralmente por el caso mónico de la prueba de la raíz racional).
Esta es una forma de motivar la noción de número entero algebraico. Supongamos que deseamos considerar como "enteros" algún subring $\,\mathbb I\,$ del campo de todos los números algebraicos. Para que sea un campo puramente algebraico no puede distinguir entre raíces conjugadas, por lo que si $\rm\,\alpha,\alpha'$ son raíces del mismo polinomio irreducible sobre $\rm\,\mathbb Q\,,\,$ entonces $\rm\,\alpha\in\mathbb I\iff \alpha'\in\mathbb I\,.\,$ También deseamos $\rm\,\mathbb I\cap \mathbb Q = \mathbb Z,\,$ por lo que nuestra noción de entero algebraico es un fiel extensión de la noción de entero racional. Supongamos ahora que $\rm\,f(x)\,$ es el polinomio mínimo mónico sobre $\rm\,\mathbb Q\,$ de un "entero" algebraico $\rm\,\alpha\in \mathbb I\,.\,$ Entonces $\rm\,f(x) = (x-\alpha)\,(x-\alpha')\,(x-\alpha'')\,\cdots\,$ tiene coeficientes en $\rm\,\mathbb I\cap \mathbb Q = \mathbb Z.\,$ Por tanto, el polinomio mínimo mónico de los elementos $\in\mathbb I\,$ debe tener coeficientes $\in\mathbb Z\,.\,$ A la inversa, se demuestra fácilmente que el conjunto de todos esos números algebraicos contiene $1$ y es cerrado tanto en la diferencia como en la multiplicación, por lo que forma una anillo . Además, el campo cociente de $\rm\,\mathbb I\,$ es el campo de todos los números algebraicos. Por lo tanto, algunas hipótesis naturales sobre la noción de número entero algebraico implican el criterio estándar en términos de polinomios mínimos.
Porque esta noción de número entero fielmente extiende la noción de enteros racionales, podemos emplear los enteros algebraicos para deducir resultados sobre los enteros racionales. Esto a menudo da lugar a grandes simplificaciones, ya que muchas ecuaciones diofánticas se simplifican -se "linealizan"- cuando uno las factoriza en campos de extensión algebraica. Por ejemplo, véanse las pruebas sobre los triples pitagóricos utilizando enteros gaussianos, o las pruebas clásicas de la FLT para exponentes pequeños empleando enteros algebraicos.
