Convergencia integral y uniforme

Question

Considere $f_n(x)=nx^n$ en $[0,1)$ es convergente puntualmente a la $0$ función.

Sin embargo, la integral $\int_0^1 f_n =1$ . Si la integral es $\ne 0$ ¿implica que la función es no uniforme ¿convergente? Por alguna razón creo que es incorrecto.

¿Cómo puedo demostrar la no uniformidad?

• Si $f_n$ es continua, pero $f$ a la que es convergente, no es continua, no es uniforme.

• Puedo buscar el $\sup|f_n-f|=0$ para que sea uniforme.

¿Algún otro método sencillo?

Answer 1

Si una secuencia de funciones converge uniformemente, entonces el límite y la integral conmutan o

$\lim_{n\rightarrow \infty}\int_{0}^{1} f_{n}d=\int_{0}^{1}\lim_{n\rightarrow \infty}f_{n}d=\int_{0}^{1}fd$

Como esto no es cierto aquí, por el contrapositivo de esta afirmación, la secuencia no es uniformemente convergente en este intervalo.

Answer 2

La convergencia uniforme requiere $\sup_{x \in [0,1)} |nx^n| \to 0$ .

Con $x_n = 1- 1/n \in [0,1)$ tenemos

$$\sup_{x \in [0,1)} |nx^n| \geqslant n(1-1/n)^n \to \infty.$$

Por lo tanto, la convergencia no es uniforme.