El único subesquema cerrado de un esquema afín es el propio esquema?

Question

Hace poco leí esto extracto del Libro Rojo de Mumford. Se trata de demostrar que todo subesquema cerrado de un esquema afín $\text{Spec }R$ está determinada por un ideal $R$ . Los pasos individuales en sí mismos no parecen demasiado difíciles, pero una vez que me di cuenta de lo que realmente estaba demostrando, me quedé muy confundido. Define el morfismo de inclusión $f: Y \longrightarrow \text{Spec }R$ donde $Y$ es un subesquema cerrado de $\text{Spec }R$ . A continuación, demuestra, en el segundo párrafo del extracto que he enlazado anteriormente, que $f$ es sobreyectiva. Al principio pensé que se trataba de una errata, pero parece ser la conclusión genuina de su argumento. ¿Cómo es posible? ¿Cómo es que la inclusión de un subesquema cerrado de un esquema afín es sobreyectiva? Eso significaría que todo subesquema cerrado de un esquema afín es homeomorfo al propio esquema afín completo. Seguramente no puede ser así, ¿verdad? Parece que, o bien se trata de un error, o bien he entendido algo muy mal. Conociéndome, es esto último.

Para aquellos que no estén familiarizados con la terminología antigua, Mumford utiliza el término "preesquema" de la misma manera que los autores modernos utilizan el término "esquema", y reserva ese término para aquellos preesquemas que están separados.

Answer 1

$\DeclareMathOperator{\Spec}{Spec}$ El morfismo $f: Y \rightarrow X$ es un subesquema cerrado de $X = \Spec R$ . Esto significa que el espacio subyacente de $Y$ es un subconjunto cerrado de $X$ el mapa subyacente de $f$ es la inclusión, y $f^{\#}: \mathcal O_X \rightarrow f_{\ast} \mathcal O_Y$ es un morfismo suryente de láminas. En la notación de Mumford, $\mathcal Q$ es el núcleo del morfismo $f^{\#}$ es una gavilla de ideales de $\mathcal O_X$ .

En particular, $A := \mathcal Q(X)$ es el núcleo del homomorfismo de anillo $f^{\#}(X)$ pasando de $\mathcal O_X(X) = R$ a $f_{\ast}\mathcal O_Y(X) = \mathcal O_Y(Y)$ . Entonces, por el primer teorema del isomorfismo, existe un único homomorfismo de anillo $\phi: R/A \rightarrow \mathcal O_Y(Y)$ tal que $\phi \circ \pi = f^{\#}(X)$ . Es inyectiva.

Un homomorfismo de un anillo a la sección global de un esquema, corresponde biyectivamente a un morfismo de ese esquema al espectro del anillo. Por tanto, el morfismo de esquemas $g: Y \rightarrow \textrm{Spec}(R/A)$ correspondiente al homomorfismo de anillo $\phi$ es el único morfismo de esquemas tal que $i \circ g = f$ , donde $i: \textrm{Spec}(R/A) \rightarrow X$ es el morfismo de esquemas correspondiente a $\pi$ .

Mumford quiere demostrar que $g$ es un isomorfismo de esquemas. En particular, $Y$ será afín, y el morfismo $g$ será básicamente el morfismo procedente de la proyección sobre un anillo cociente. Hay dos cosas que se pueden comprobar $g$ :

1 . El mapa de las secciones globales $g^{\#}(X)$ es inyectiva: este mapa es simplemente $\phi$ que sabemos que es inyectiva.

2 . $g: Y \rightarrow \textrm{Spec}(R/A)$ es una inmersión cerrada. El mapa subyacente es de inclusión (ya que es el caso de $f$ et $i$ ), y como $f^{\#} = (i \circ g)^{\#} = i_{\ast}(g^{\#}) \circ i^{\#}$ es suryente, también lo es $i_{\ast}(g^{\#})$ por lo que también lo es $g^{\#}$ .

Así, $\textrm{Spec}(R/A)$ se convierte en su nuevo $X$ y $g$ se convierte en su nuevo $f$ y te has reducido a demostrar que $f$ es un isomorfismo de esquemas en el caso especial de que el mapa sobre secciones globales sea inyectivo.