Si un conjunto abierto conexo está uniformemente cubierto, entonces su preimagen está dividida de forma única en rodajas

Question

Esto es de Topología por Munkres:

Dejemos que $p:E \to B$ sea un mapa de cobertura. Supongamos que $U$ es un conjunto abierto de $B$ que está cubierto uniformemente por $p$ . Demuestre que si $U$ está conectada, entonces la partición de $p^{-1}(U)$ en rodajas es único.

Lo que he probado hasta ahora

He demostrado que si $\{V_\alpha\}$ es una porción, entonces cada $V_\alpha$ está conectado, pero no sé qué hacer a continuación.

Answer 1

Dejemos que $\{V_\alpha\}$ , $\{W_\beta\}$ sean particiones de $p^{-1}(U)$ .

Escoge $\alpha$ y considerar $V_\alpha$ , elija $e \in V_\alpha$ . Desde $e \in p^{-1}(U) = \bigsqcup_\beta W_\beta$ existe un único $\beta$ tal que $e \in W_\beta$ .

Queremos demostrar que $V_\alpha = W_\beta$ . Supongamos por contradicción que $V_\alpha \neq W_\beta$ . Entonces $V_\alpha \setminus W_\beta \neq \emptyset$ . Sabemos que $V_\alpha \cap W_\beta \neq \emptyset$ ya que cada uno contiene $e$ . Observe que $V_\alpha \cap W_\beta$ es abierto ya que es la intersección de dos conjuntos abiertos. Además $V_\alpha = \big( V_\alpha \cap W_\beta \big) \cup \big( V_\alpha \setminus W_\beta \big)$ . Y por supuesto $\big( V_\alpha \cap W_\beta \big) \cap \big( V_\alpha \setminus W_\beta \big) = \emptyset$ . Si podemos demostrar que $V_\alpha \setminus W_\beta$ es abierto, entonces tenemos una separación de $V_\alpha$ . Esto contradice nuestra hipótesis de que $U$ está conectado ya que $V_\alpha$ es homeomorfo a $U$ y está esto conectado también. Por lo tanto, podemos concluir que $V_\alpha = W_\beta$ y por tanto la partición es única.

Ahora bien, ¿por qué $V_\alpha \setminus W_\beta$ ¿abierto? Si $e' \in V_\alpha \setminus W_\beta$ existe $\beta_{e'} \neq \beta$ tal que $e' \in W_{\beta_{e'}}$ . Observe que $V_\alpha \setminus W_\beta = V_\alpha \cap \bigcup_{e' \in V_\alpha \setminus W_\beta} W_{\beta_{e'}}$ que está abierto porque $\bigcup_{e' \in V_\alpha \setminus W_\beta} W_{\beta_{e'}}$ es abierto ya que es la unión de conjuntos abiertos, y la intersección de dos conjuntos abiertos es abierta.

Answer 2

Demuestre que las rodajas son las componentes conectadas de $p^{-1}(U)$ . De ello se deduce inmediatamente que la partición de $p^{-1}(U)$ en rodajas es único.

(Debería considerar un ejemplo en el que $U$ es no conectado, para ver por qué la partición no es única en ese caso, por cierto...)

Answer 3

Creo que podríamos hacer un argumento más sencillo:

Dejemos que $\{U_{\alpha}\}$ , $\{V_{\beta}\}$ sean particiones de $p^{-1}(U)$ .

Sabemos que, si arreglamos $\alpha_0$ , $\forall x\in U_{\alpha_0}$ $\exists! \beta$ s.t $ x \in V_{\beta}$ . De ello se desprende que si $U_{\alpha_0}$ se cruza con más de dos $V_{\beta}$ podemos escribir $U_{\alpha_0} = \cup_{\beta} [U_{\alpha_0} \cap V_{\beta}]$ una partición abierta disjunta; una contradicción con $U_{\alpha_0}$ que está conectada.