La suma de divergente la serie de Euler: $0!-1!+2!-3!+\cdots$

Question

Considerar la serie

$$\sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^kk!x^k\in\mathbb{R}[[x]]$$

Deje $s_n(x)$ se suma parcial. Y deje $\omega_{k,n}=(k!^2(n-k)!)^{-1}$. Mi pregunta es:

Demostrar que $$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{s_0\omega_{0,n}+\cdots + s_n\omega_{n,n} }{\omega_{0,n}+\dots+\omega_{n,n}}=\int\limits_0^\infty\dfrac{e^{-t}}{xt+1}dt$$

Answer 1

Sugerencias:

• Para todos los fijos $i$, identificar el coeficiente de $x^i$ en el lado izquierdo y en el lado derecho.
• Deducir que la tarea es demostrar que $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\omega_{i,n}+\cdots+\omega_{n,n}}{\omega_{0,n}+\cdots+\omega_{n,n}}=1$, para todos los fijos $i$.
• Equivalentemente, uno debe demostrar que $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\omega_{k,n}}{\omega_{0,n}+\cdots+\omega_{n,n}}=0$, para todos los fijos $k$.
• Deducir que, si $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\omega_{k,n}}{\omega_{k+1,n}}=0$, para todos los fijos $k$, entonces el resultado se mantiene.
• Calcular la relación de $\dfrac{\omega_{k,n}}{\omega_{k+1,n}}$ y su límite cuando $n\to\infty$, y la conclusión.

Answer 2

Desde hacía ya dijo mucho, permítanme ofrecer un par de observaciones más que son demasiado largas para un comentario:

El límite de la media ponderada suma (es decir, algo parecido a Cesàro suma, pero con pesas) se considera que puede tener un aspecto un poco menos intimidante si reescrita en términos de avance de las diferencias:

$$A_n=\frac{s_0\omega_{0,n}+\cdots + s_n\omega_{n,n} }{\omega_{0,n}+\dots+\omega_{n,n}}=\left.\frac{\Delta^n\left(\frac{s_k}{(-1)^k k!}\right)}{\Delta^n\left(\frac1{(-1)^k k!}\right)}\right|_{k=0}$$

De hecho, lo que estamos viendo es un caso especial de una familia de la extrapolación de los algoritmos estudiados por Avram Sidi (ver por ejemplo este o este o este). En esas referencias, la relación entre Borel suma (que es lo habitual, el método aplicado para sumar divergentes de la serie como el de la OP) y la extrapolación de estos métodos se nota. Un eficiente algoritmo recursivo para calcular estas extrapolaciones.

Por otro lado, la convergencia de la OP especial particular caso no es demasiado buena, en comparación con otros casos de la general, el método de extrapolación, por ejemplo,

$$\begin{align*} \mathcal D_n&=\left.\frac{\Delta^n\left(\frac{s_k}{(-1)^k k! x^k}\right)}{\Delta^n\left(\frac1{(-1)^k k! x^k}\right)}\right|_{k=0}\\ \mathcal L_n&=\left.\frac{\Delta^n\left(\frac{s_k (k+1)^{n-1}}{(-1)^k k! x^k}\right)}{\Delta^n\left(\frac{(k+1)^{n-1}}{(-1)^k k! x^k}\right)}\right|_{k=0}\\ \mathcal S_n&=\left.\frac{\Delta^n\left(\frac{s_k (k+1)_{n-1}}{(-1)^k k! x^k}\right)}{\Delta^n\left(\frac{(k+1)_{n-1}}{(-1)^k k! x^k}\right)}\right|_{k=0} \end{align*}$$

donde $(a)_k$ es el símbolo de Pochhammer. En particular, la transformación de $\mathcal D_n$ es una convergencia de aceleración método estudiado por Drummond, mientras que $\mathcal L_n$ es de hecho la Levin $t$-transformación (véase esta cuestión), y $\mathcal S_n$ es la modificación de la Levin transformación debido a E. J. Weniger.

He aquí una pequeña tabla con la comparación numérica de desempeño de las diversas transformaciones con la regularización de la suma, $F(x)=\frac1{x}\exp\left(\frac1{x}\right)E_1\left(\frac1{x}\right)$ ($E_1(x)$ es la integral exponencial), teniendo en $n=10$:

\begin{array}{c|cc}x&F(x)&A_{10}&\mathcal D_{10}&\mathcal L_{10}&\mathcal S_{10}\\\hline 0.1&0.915633339&0.915625503&0.915633339&0.915633339&0.915633339\\ 0.2&0.852110881&0.851748876&0.852110881&0.852110881&0.852110881\\ 0.5&0.722657234&0.722476442&0.722656381&0.722657245&0.722657234\\ 0.75&0.650812854&0.650744812&0.650803895&0.650812841&0.650812848\\ 1&0.596347362&0.596310789&0.596310789&0.596347200&0.596347353\\ 1.5&0.517329839&0.517327162&0.517138593&0.517329576&0.517329988\\ 2&0.461455316&0.476549262&0.460953049&0.461456123&0.461455825\\ \end{array}

Los mayores valores de $n$ dará mejores resultados, hasta cierto punto, cuando la sustracción de la cancelación de restar los grandes conjuntos de términos.