Interpretación de la suma de Riemann como una integral.

Question

Estoy tratando de averiguar si puedo interpretar esta suma de riemann

$$ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{2n+k} $$

como

$$ \lim_{x \to \infty} \int_1^x \frac{1}{2x+y}dy $$

Parece que es correcto porque ambas expresiones me dan el mismo resultado, $\ln\dfrac{3}{2}$ pero no veo cómo derivar la segunda expresión de la primera.

Gracias de antemano,

Saludos cordiales.

Tom.

Answer 1

Una pista: Escribe la serie como: $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{1}{2+k/n}$$ ahora el truco general es reemplazar $\frac{1}{n}$ con $dx$ y determinar los límites de integración, que son: $$\int_0^1\frac{1}{2+x}dx$$ Editar:

Para implicar tu integral a partir de esa suma infinita, primero observa que: $$\lim_{x\to\infty}\int_1^x\frac{1}{2x+y}dy=\lim_{n\to\infty}\int_1^n\frac{1}{2n+x}dx$$ Ahora echa un vistazo a la imagen en este puesto para ver: $$\sum_{k=2}^n\frac{1}{2n+k}<\int_1^n\frac{1}{2n+x}dx<\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2n+k}$$ Por lo tanto, con respecto a: $$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=2}^n\frac{1}{2n+k}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{2n+k}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2n+k}$$ y el teorema del sándwich, demuestra la afirmación.