¿Se viola la relatividad de la simultaneidad en los marcos acelerados?

Question

Consideremos la relatividad de la simultaneidad en SR, donde 2 observadores S y S' son inerciales. Con la transformación de Lorentz $$t=\gamma(t'-vx'/c^2)$$ podemos ver que la relatividad de la simultaneidad viene de $vx'/c^2$ donde $x'$ indica la posición del evento digamos A en el marco S'. Es sencillo deducir este hecho, ya que si eliminamos este término, y suponemos que dos sucesos son simultáneos en un fotograma, se puede ver que serán simultáneos en todos los fotogramas. Digamos que hay dos sucesos en el espaciotiempo tales que $t'_A=t'_B$ mientras que $x'_A\neq x'_B$ . Utilizando la ecuación anterior y eliminando $vx'/c^2$ , $$t_a=\gamma(t'_a)\mbox{and}t_b=\gamma(t'_b)\mbox{so} t_a=t_b.$$ Consideremos ahora un caso especial de aceleración en el que el observador S' se mueve con una aceleración propia constante $g$ y el observador S es inercial. Este es el llamado movimiento hiperbólico, y tenemos esta transformación para el tiempo:

$$t=\frac{c}{g}\sinh(gt'/c)$$ Como puedes ver, $t$ no depende de la posición de los eventos, por lo que la relatividad de la simultaneidad no puede entenderse a partir de esta fórmula. Lo cual está un poco fuera de lugar si tenemos en cuenta que S' está en movimiento respecto a S.

Creo que este problema viene de mi malentendido, y esta transformación no se aplica para todos los eventos, más bien es sólo para los eventos en el origen de S' (es decir $x'=0$ ) probablemente. Sin embargo, Don Koks en su libro Exploraciones en física matemática los conceptos detrás de un lenguaje elegante compara la relatividad de la simultaneidad de los eventos para el marco acelerado, donde utiliza la misma transformación.

También agradezco si alguien me muestra una forma de comparar la simultaneidad de eventos para marcos acelerados con un ejemplo.

En resumen, ¿cuál es el significado físico de esta transformación? ¿Por qué no depende de la posición (desde el punto de vista físico)? ¿Indica algún tipo de marco absoluto?

Answer 1

Esta pregunta combina dos aspectos:

1. ¿qué se entiende por relatividad de la simultaneidad y se cumple siempre?
2. ¿cuál es una buena manera de entender el marco de referencia de aceleración constante (en el espaciotiempo plano)

1. La relatividad de la simultaneidad

En relatividad especial, la relatividad de la simultaneidad es el hecho de que si en un marco de inercia dos sucesos son simultáneos, entonces existen otros marcos de inercia en los que no son simultáneos. En la relatividad general, la relatividad de la simultaneidad es el hecho de que si dos acontecimientos comparten el mismo valor de una coordenada temporal $t$ en un determinado conjunto de coordenadas utilizadas para trazar una región del espaciotiempo, entonces puede haber otros conjuntos de coordenadas en los que esos eventos no compartan el mismo valor de alguna otra coordenada temporal $t'$ . Aquí, por "coordenada temporal" entiendo una coordenada tal que los pequeños intervalos en los que sólo cambia esta coordenada son similares al tiempo.

La relatividad de la simultaneidad es una afirmación de existencia: es la afirmación de que existe coordenadas o marcos inerciales que difieren en cuanto a la simultaneidad. Por lo tanto, ningún contraejemplo puede llamarse "violación"; la única manera de "violar" la afirmación sería demostrar que nunca es cierta; habría que demostrar que hay no pares de fotogramas que difieren en cuanto a la simultaneidad. Pero esto no será posible, porque es fácil encontrar ejemplos que sí difieren en cuanto a la simultaneidad.

Por lo tanto, la pregunta que se plantea aquí es realmente la pregunta

2. ¿cuál es una buena manera de entender el marco de referencia de aceleración constante (en el espaciotiempo plano)?

El marco de aceleración constante en el espacio-tiempo plano, también llamado marco de Rindler, es una plataforma muy buena para aprender varias lecciones de la relatividad especial y general. Se podrían escribir libros enteros sobre él; la Wikipedia ofrece una útil introducción. La idea básica es trazar una gran región de espaciotiempo plano utilizando dos sistemas de coordenadas diferentes: las coordenadas ordinarias de Minkowski $T,X,Y,Z$ o las coordenadas de Rindler $t,x,y,z$ , relacionado con el anterior por $$ T = x \sinh(\alpha t),\quad X=x\cosh(\alpha t),\quad Y=y,\quad Z=z $$ donde hemos puesto $c=1$ . En términos de las cantidades citadas en la pregunta, tenemos $\alpha = g$ y las coordenadas no imprimadas en la pregunta son iguales al $T,X,Y,Z$ coordenadas adoptadas aquí.

El intervalo espaciotemporal entre dos eventos separados por $dT,dX,dY,dZ$ es $$ ds^2 = - dT^2 + dX^2 + dY^2 + dZ^2 $$ (la métrica de Minkowski). El intervalo espaciotemporal entre dos eventos separados por $dt,dx,dy,dz$ es $$ ds^2 = -(\alpha x)^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 $$ (la métrica de Rindler).

Los eventos a lo largo de cualquier línea recta que pase por el origen en el $T,X$ plano (con pendiente inferior a 45 $^\circ$ ) son simultáneos en las coordenadas de Rindler: todos tienen el mismo $t$ . Pero no son simultáneas en las coordenadas de Minkowski, así que lejos de evitar la relatividad de la simultaneidad, este caso ilustra perfectamente ese aspecto de la relatividad.

El siguiente diagrama muestra las líneas de constante $t$ (líneas rectas que pasan por el origen) y las líneas de constante $x$ (hipérbola) en el $T,X$ avión.

La ecuación que se cita en la pregunta, a saber $$ ``\,t = \frac{c}{g} \sinh (g t'/c)\," $$ es, en mi notación, $$ T = \frac{1}{g} \sinh (g t) . $$ Esta es la ecuación para un de las hipérbolas: es la que tiene $x = 1/g$ . Así que no es de extrañar que no se mencione $x$ ¡! Pero tal vez la cuestión haya surgido de otro aspecto de este caso. Cada hipérbola cruza la $T$ en un eje determinado $X$ (de hecho en $X = x$ ), y la aceleración propia de una partícula cuya línea del mundo es esa hipérbola particular es a su vez proporcional a $1/x$ . Así que la ecuación $$ T = x \sinh(\alpha t) $$ también puede escribirse $$ T = \frac{c}{a_0} \sinh(\alpha t) $$ donde $a_0 = c/x$ es la aceleración propia de la línea del mundo dada. Esto oculta el hecho de que $T$ depende de $x$ Y tal vez sea ésta la razón de la confusión que dio lugar a la pregunta.

Answer 2

Utilizaré un enfoque ligeramente diferente al de la respuesta de Andrew Steane. Llamaré a $(t,x)$ el sistema de coordenadas de un observador inercial estacionario (suprimiendo el $y$ et $z$ coordenadas), y $(\bar{t},\bar{x})$ el sistema de coordenadas de un viajero con aceleración propia constante. La cuádruple velocidad del viajero con respecto al marco estacionario es entonces $$ \frac{\text{d}\boldsymbol{x}}{\text{d}\bar{t}} = \left(c\frac{\text{d}t}{\text{d}\bar{t}},\ \frac{\text{d}x}{\text{d}\bar{t}}\right) = (\gamma c,\, \gamma v). $$ Introduzcamos un parámetro $\eta\,$ definido como $v = c\tanh\eta$ . De ello se desprende que $$ \left(c\frac{\text{d}t}{\text{d}\bar{t}},\ \frac{\text{d}x}{\text{d}\bar{t}}\right) = (c \cosh\eta,\, c\sinh\eta).\tag{1} $$ La cuatro aceleración es entonces $$ \frac{\text{d}^2\boldsymbol{x}}{\text{d}\bar{t}\vphantom{t}^2} = \left(c \sinh\eta\,\frac{\text{d}\eta}{\text{d}\bar{t}},\, c\cosh\eta\,\frac{\text{d}\eta}{\text{d}\bar{t}}\right). $$ La aceleración adecuada $g$ del viajero es el escalar de Lorentz asociado a este cuatro vector: $$ g = \sqrt{c^2\cosh^2\eta\,\left(\frac{\text{d}\eta}{\text{d}\bar{t}}\right)^{\!2} - c^2\sinh^2\eta\,\left(\frac{\text{d}\eta}{\text{d}\bar{t}}\right)^{\!2}} = c\frac{\text{d}\eta}{\text{d}\bar{t}}. $$ Dado que consideramos el movimiento con una constante $g$ Por lo tanto, podemos escribir $$ \bar{t} = \frac{c}{g}\eta,\tag{2} $$ y de $(1)$ $$ \frac{\text{d}t}{\text{d}\eta} = \frac{c}{g}\,\frac{\text{d}t}{\text{d}\bar{t}} = \frac{c}{g}\cosh\eta,\\ \frac{\text{d}x}{\text{d}\eta} = \frac{c}{g}\,\frac{\text{d}x}{\text{d}\bar{t}} = \frac{c^2}{g}\sinh\eta, $$ por lo que obtenemos las ecuaciones $$ ct = \frac{c^2}{g}\sinh\eta,\\ x = \frac{c^2}{g}\cosh\eta,\tag{3} $$ que es la ecuación del parámetro de una hipérbola (línea azul en la figura de la izquierda).

Esto sólo define una única línea del mundo, a saber, la trayectoria del viajero en la que $\bar{x} = \text{const}$ . ¿Cómo podemos ampliar esto a un $(\bar{t},\bar{x})$ ¿rejilla de coordenadas? En primer lugar, observa que el viajero está momentáneamente en reposo en $\bar{t}=t=0$ . Por lo tanto, es una opción natural para definir $\bar{x}\equiv x$ en $\bar{t}=0$ . Como consecuencia, el $\bar{x}$ -La coordenada del viajero es $c^2/g$ .

Podemos utilizar un procedimiento similar para un $\bar{t}$ : en cualquier momento, podemos dejar que el $\bar{x}$ -coinciden con la coordenada $x'$ coordenada de un marco inercial en movimiento momentáneo (es decir, un marco inercial que se mueve con la misma velocidad que el viajero en el momento $\bar{t}$ ).

Por ejemplo, tomemos un punto arbitrario del espaciotiempo $A$ en el camino del viajero, con coordenadas $(t_A, x_A)$ en el marco estacionario y $(\bar{t}_{\!A}, \bar{x}_{\!A})$ en el marco de la aceleración. Ya sabemos que $\bar{x}_{\!A}=c^2/g$ . Ahora introducimos el $(t',x')$ coordenadas de un marco inercial momentáneo en el tiempo $\bar{t}_{\!A}$ .

El eje temporal de este marco, definido como $x' \equiv \bar{x}_{\!A}$ (línea púrpura) viene dada por la línea tangente de la trayectoria del viajero en $A$ . Desde $(3)$ obtenemos un vector tangente $(\cosh\eta_A, \sinh\eta_A)$ de modo que el eje temporal puede expresarse como $$ ct = ct_A + c(t' - \bar{t}_{\!A})\cosh\eta_A,\\ x = x_A + c(t' - \bar{t}_{\!A})\sinh\eta_A. \tag{4} $$ El eje espacial ( $t' \equiv \bar{t}_{\!A}$ ) del marco de referencia (línea roja) es perpendicular al eje del tiempo, y por lo tanto se define por $(t_A, x_A)$ y el vector $(\sinh\eta_A, \cosh\eta_A)$ . En efecto, el producto punto de Minkowski de $(\cosh\eta_A, \sinh\eta_A)$ et $(\sinh\eta_A, \cosh\eta_A)$ es cero. Por lo tanto, encontramos $$ ct = ct_A + (x' - \bar{x}_{\!A})\sinh\eta_A = x'\sinh\eta_A,\\ x = x_A + (x' - \bar{x}_{\!A})\cosh\eta_A = x'\cosh\eta_A. \tag{5} $$ Ahora definimos $\bar{x}\equiv x'$ en este eje espacial en $\bar{t}_{\!A}$ . Pero podemos hacer esto para cualquier punto de la línea del mundo del viajero, así que podemos generalizar inmediatamente $(5)$ a $$ ct = \bar{x}\sinh(g\bar{t}\!/c),\\ x = \bar{x}\cosh(g\bar{t}\!/c). \tag{6} $$ Estas son las transformaciones que buscamos. Curvas de constante $\bar{t}$ son líneas rectas que pasan por el origen, curvas de constante $\bar{x}$ son hipérbolas. Obsérvese que estas últimas representan líneas del mundo de viajeros con diferentes aceleraciones constantes; esto está estrechamente relacionado con los conceptos de Movimiento rígido nacido et La paradoja de la nave espacial de Bell . Por último, obsérvese que ninguno de estos viajeros puede comunicarse con el origen: los rayos de luz que pasan por el origen no se cruzan con las hipérbolas y, por tanto, definen un horizonte.