¿Puede aplicarse el principio de transferencia a la lógica de segundo orden si transferimos conjuntos y relaciones a hiperconjuntos e hiperrelaciones?

Question

El principio de transferencia no se aplica a la lógica de segundo orden. Por ejemplo, si tomo un enunciado estándar. $$\text{A lower bounded set of Reals has a greatest lower bound}$$

Es falso para los hiperreales: Si se toma, por ejemplo, el conjunto de los infinitesimales, están limitados por debajo de $-1$ pero no tienen el mayor límite inferior.

Es cierto si sustituimos conjunto por hiperconjunto. No hay ningún hiperconjunto de (sólo los) infinitesimales.

¿Se aplica el principio de transferencia a lógica de segundo orden si transferimos los conjuntos a los hiperconjuntos y las relaciones a las hiperrelaciones?

En cuanto a lo que es un hiperconjunto, si utilizamos la definición de ultrafiltro, es simplemente una secuencia de conjuntos de elementos estándar. Por ejemplo, un hiperconjunto podría ser:

$$\langle\{3\},\{3,3.1\},\{3,3.1\},\{3,3.1,3.14\},\{3.14,3.141\},\{3.1,3.1415\}\dots \rangle$$

Esto contendrá, por ejemplo

$$\langle3,3,3.1,3.14,3.14,3.1415,\dots\rangle$$

un número infinitamente cercano a $\pi$ .

Answer 1

Sí, el principio de transferencia seguirá siendo válido si se presta mucha atención a la construcción del ultraproducto para ver qué dice el principio de transferencia correcto. Recordemos que el principio de transferencia es esencialmente el hecho de que un ultrapoder de un modelo es elementalmente equivalente al modelo original.

Trabajar con modelos de segundo orden, $^{\text[1]}$ se comenzaría con una estructura $$ M = (A, S, \ldots) $$ donde $A$ es un conjunto de objetos, $S$ es un conjunto de subconjuntos de $A$ y $\ldots$ es una firma que puede incluir funciones y relaciones sobre $A$ y/o $S$ . Entre ellos estará la relación de pertenencia al conjunto $\in$ . A continuación, toma un ultrapoder de $M$ para obtener un nuevo modelo $M^*$ de la forma $$ M^* = ( A^*, S^*, \ldots) $$ Por equivalencia elemental, existe un principio de transferencia entre $M$ y $M^*$ . Por supuesto $S^*$ no será el conjunto de poderes completo de $A^*$ por lo general. En el principio de transferencia correcta, los cuantificadores de conjunto en $M^*$ sólo se extenderá sobre $S^*$ no sobre el conjunto de poderes de $A^*$ .

Los elementos de $S^*$ son clases de equivalencia de secuencias de elementos de $S$ - Creo que a esto se le llama "hiperset". Un elemento $\alpha$ de $A^*$ pertenecerá a un conjunto $X$ de $S^*$ si la colección de índices $i$ para lo cual $\alpha(i) \in X(i)$ está en el ultrafiltro.

Nota [1]: para conectar esto con la literatura, hay que tener cuidado con la terminología. Un sistema en el que se tienen tanto números naturales como números reales se suele llamar "de segundo orden", como en aritmética de segundo orden . Así que si también tienes subconjuntos de los reales, entonces este sería un sistema de "tercer orden" en ese sentido. Por supuesto, se trata de la teoría de segundo orden de la recta real; la terminología sobre el orden de una teoría puede ser confusa.

Recientemente se ha investigado mucho sobre el análisis no estándar de los sistemas de segundo orden. Por ejemplo,

• " Formalización de argumentos no estándar en la aritmética de segundo orden ", Keita Yokoyama, Revista de Lógica Simbólica 75, 2010.
• " La irracional eficacia del análisis no estándar ", Sam Sanders, 2015, preimpresión.

Answer 2

El principio de transferencia sigue siendo válido si se interpreta que los cuantificadores abarcan conjuntos internos . Por lo tanto, esto no tiene nada que ver con los detalles de una construcción particular de los hiperreales, como la construcción de la ultrapotencia. Hablar de la construcción de un modelo concreto puede resultar confuso cuando se trata de entender cuestiones conceptuales, como señala Joel David Hamkins en su respuesta aquí .

Para abordar el ejemplo concreto que mencionas, todo conjunto interno acotado de números hiperreales tendrá efectivamente un mejor límite superior/inferior.