Compactación en retículos completos

Question

Dejemos que $(L,\leq)$ sea una red completa. Decimos que un $a\in L$ es compacto en $L$ si para $\forall A\subset L$ tal que $a\leq \bigvee A$ existe un subconjunto finito $A'\subset A$ , que se trata de $a\leq\bigvee A'$ .

Demuestre que las dos condiciones siguientes son equivalentes:

(i) Cada elemento de $L$ es compacto en $(L,\leq)$ es decir $L=\text{Comp}(L)$ donde $\text{Comp}(L)$ denota el conjunto de todos los elementos compactos de $L$

(ii) Cada cadena en $(L,\leq)$ tiene un elemento mayor.

Puedo demostrar que (i) implica (ii), pero estoy totalmente atascado en la implicación inversa. Cualquier ayuda y asistencia será muy apreciada. Mi trabajo para (i) implica (ii) son los siguientes:

Dejemos que $S$ sea una cadena en $(L,\leq)$ . Entonces, como $(L,\leq)$ está completo, $\bigvee S\in L$ y, por tanto, por (i) tenemos un $S'\subset S$ , de tal manera que $\bigvee S\leq\bigvee S'$ Por lo tanto $\bigvee S'=\bigvee S$ y como $S'$ es finte, $\bigvee S'\in S'\subset S$ Por lo tanto $\bigvee S\in S$ Es decir, cada cadena tiene un elemento mayor. Creo que esto está bien, pero si veis algún problema con ello, por favor, hacédmelo saber, y cualquier ayuda sobre (ii) implica (i) es realmente necesaria, ya que estoy totalmente atascado allí. Gracias de antemano

Answer 1

Dejemos que $y\in L$ y $X\subset L$ tal que $y\leq\bigvee X$ y que $P=\{\bigvee X'| X'\subset X\space\text{&} \space X'\space\text{is finite}\}$ . Toma una cadena $S$ en $P$ , entonces como $P\neq\emptyset$ (ya que $(L,\leq)$ es completa) y por (ii) podemos entonces aplicar el Lemma de Zorn, así $P$ tiene un elemento máximo, digamos $b=\bigvee X'$ para algún finte $X'\subset X$ . Entonces es fácil ver que $b=\bigvee X$ como si no fuera así, para algunos $x\in X$ tenemos $x\nleq b$ y así $\bigvee (X'\cup\{x\})>b$ contradiciendo la maximalidad de $b$ . Así, $y\leq\bigvee X'$