Evaluación de $\int_{0}^{3a} \frac{x\sqrt{3a-x}}{\sqrt{a+x}} dx$

Question

Cómo podemos evaluar la siguiente integral:

$$I=\int_{0}^{3a} \frac{x\sqrt{3a-x}}{\sqrt{a+x}} dx$$

He intentado utilizar la propiedad $\int_{a}^{b} f(x) dx=\int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ pero no ayuda por el denominador. ¿Cómo debo proceder?

Answer 1

Supongamos que $a>0$ . Se puede escribir $$ \begin{align} \int_{0}^{3a} \frac{x\sqrt{3a-x}}{\sqrt{a+x}} dx &=a^2\int_{0}^{3} \frac{t\sqrt{3-t}}{\sqrt{1+t}} dt \qquad (x=at) \\\\&=2a^2\int_{1}^{2} (u^2-1)\sqrt{4-u^2}\: du \qquad \left(u=\sqrt{1+t}\:\right) \\\\&=8a^2\int_{\pi/6}^{\pi/2} (3-4\cos^2 v)\cos^2 v\: dv \qquad \left(u=2\sin v\:\right) \\\\&=\frac{3\sqrt{3}}2 a^2, \end{align} $$ donde hemos utilizado $$ \cos^2 v=\frac{1+\cos(2v)}2 $$ dos veces.

Answer 2

Una pista:

Esto es un clásico. Usa la sustitución: $$t=\sqrt{\dfrac{3a-x}{a+x}}\iff x=a\frac{3-t^2}{t^2+1},\enspace t\ge 0$$

Answer 3

SUGERENCIA:

Como necesitamos $3a\ge x>-a\iff2a\ge x-a>-2a,$

dejar $x-a=2a\cos2t$

WLOG, $0\le2t\le\pi\iff0\le t\le\dfrac\pi2$

$$\dfrac{3a-x}{a+x}=\tan^2t\implies\sqrt{\dfrac{3a-x}{a+x}}=+\tan t$$

¿Puedes llevarlo desde aquí?