¿Existe una teoría de conjuntos T -que aún no se ha demostrado que sea inconsistente- y en la que se puede demostrar la existencia de (1) el conjunto vacío (2) los conjuntos que son singletons y (3) los conjuntos que tienen subconjuntos propios no vacíos. T no tiene ningún axioma de infinito, pero -como en la NF de Quine- se puede demostrar en T la existencia de un conjunto universal (es decir, un conjunto de todos los conjuntos). Sin embargo, a diferencia de la NF de Quine, el universal de T debe ser finito. Se puede pensar que T está formalizado en el clásico cálculo de predicados de primer orden clásico de primer orden, utilizando el mismo lenguaje que ZF. Mi motivo para buscar una teoría de conjuntos como T es averiguar si existen teorías de conjuntos que puedan que sean aceptables para un ultrafinitista (por ajustarse a los principios de ese punto de vista), y que al mismo tiempo permitiendo una cierta cantidad de aritmética que se lleva a cabo en ellos.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Tal vez he entendido mal sus requisitos, pero parece que la siguiente teoría trivial tiene todas sus propiedades deseadas. A saber, que $T$ sea la teoría que afirma
- Hay exactamente tres objetos distintos: $E$ , $P$ y $V$ .
- $E$ no tiene miembros.
- $P$ sólo tiene $E$ como miembro.
- Todo es un miembro de $V$ , incluyendo $V$ .
Esta teoría es claramente consistente, ya que podemos escribir un modelo finito, con tres elementos. De hecho, este es el único modelo de $T$ . Pero mientras tanto, tiene todas sus propiedades, ya que afirma que $E$ está vacío y que $P$ es un singleton y que $V$ tiene un subconjunto propio no vacío, a saber, $P$ . Finalmente, $V$ es finito, ya que tiene exactamente tres elementos.
(Una objeción: en (2) has dicho que querías "conjuntos" y no sólo un conjunto que fuera un singleton. En este caso, por favor, añade otro conjunto $Q$ a la teoría que sólo tiene $P$ como miembro, y también hacer $Q$ un elemento de $V$ .)
Sospecho que puede tener en mente que la teoría debería incluir también principios teóricos de conjuntos no declarados.
He estado estudiando una teoría que llamo Aritmética Modular (AM). MA tiene los mismos axiomas que la Aritmética de Peano (PA) de primer orden, excepto que Ax( ~S(x)=0 ) se sustituye por Ex( S(x)=0 ). MA es consistente porque tiene modelos finitos arbitrariamente grandes basados en la aritmética modular. El teorema ascendente de Löwenheim-Skolem demuestra que MA debe tener modelos infinitos. MA puede convertirse en una teoría ultrafina añadiendo un axioma como Ax( x=0 o x=S(0) o ... o x=Sn(0) ) donde Sn(0) es algún número finito de aplicaciones del sucesor a 0 (un numeral).
La elaboración de una teoría de conjuntos basada en MA es problemática. Es sencillo demostrar que MA es inconsistente en omega. El predecesor de 0 debe ser no estándar (no un número) en cualquier modelo infinito de MA. Si el predecesor de 0 es estándar podemos demostrar que el modelo es finito utilizando la inducción. Esto significa que Ax( ~S(x)=0 ) es verdadera para todos los números naturales estándar en cualquier modelo infinito. Una teoría de conjuntos basada en MA tampoco puede estar bien ordenada ni fundamentada. (x =< y) <-> Ez( x+z=y ) es trivial para cualquier x e y. Usar S(x) = x U {x} como definición de sucesor es inconsistente con los axiomas de MA.
En ZF, incluso el Axioma de Emparejamiento permite la construcción de conjuntos arbitrariamente grandes. Suponiendo que pudiéramos llegar a una teoría de conjuntos para MA, ésta tendría las propiedades que pides. Una forma de hacerlo sería codificar los conjuntos como expansiones binarias de los números naturales. El elemento x es un miembro del conjunto si el bit x's de la expansión es verdadero. Esto nos permitiría tener conjuntos de tamaño log2(n) donde n es el tamaño del universo. Podemos equiparar el 0 con el conjunto vacío. Podemos definir conjuntos únicos para elementos "pequeños" del universo. También podríamos definir conjuntos con subconjuntos. Podríamos hacer una cantidad razonable de aritmética eligiendo n lo suficientemente grande. Podríamos tener conjuntos y hacer cálculos en conjuntos tan grandes como 100 teniendo un universo de tamaño 2^100.
Me parece que la aritmética ultrafinitista significativa es posible, pero tiene limitaciones, por ejemplo, no puede incluir funciones que crezcan demasiado rápido, como la exponenciación a una potencia variable. Probar la existencia de $x \mapsto 2^x$ requeriría una forma de inducción más fuerte que la aceptada por algunos ultrafinitistas.
Esta pregunta de MO parece relevante: ¿Hay algún fundamento formal para el ultrafinitismo?
Si existe tal teoría, dudo que a un ultrafinanciero le guste. El conjunto universal V tiene que contenerse a sí mismo como elemento, y eso significa que puedes tener cadenas de longitud ilimitada de la forma $x \in y \in \ldots \in z$ . Pero un ultrafinitista no quiere objetos de tamaño infinito, y V huele mucho a objeto de tamaño infinito (profundidad).
Dependiendo de la interpretación exacta de tu axioma #2, y de lo que entiendas por igualdad de conjuntos, no creo que exista tal teoría de conjuntos. Si el axioma #2 quiere decir que para cualquier conjunto, hay un singleton que contiene ese conjunto como miembro, entonces tenemos la existencia de $\emptyset$ , { $\emptyset$ }, {{ $\emptyset$ }}, ... y todos ellos son elementos de V. Si la igualdad de conjuntos significa lo que la gente suele entender, entonces todos ellos son desiguales, por lo que V es infinito.
[EDIT: se ha añadido más material a continuación]
Si, por otro lado, el significado de su axioma nº 2 es el que se asume en la respuesta de JDH, y no el que se asume en la mía, entonces no hay ninguna maquinaria genérica en sus axiomas para construir nuevos conjuntos a partir de los antiguos. Esto plantea la cuestión del significado específico de "una cierta cantidad de aritmética". En la respuesta de JDH, los objetos P y Q pueden identificarse con los números 1 y 2, y podemos hacer claramente modelos en los que este proceso se extienda hasta algún número entero mayor, como el 387. Entonces tienes una teoría con suficientes objetos en ella para nombrar los primeros 387 enteros. ¿Es esto suficiente aritmética? Para que esto sea una realización convincente de lo que tenemos en mente para una teoría de conjuntos, creo que querrías describir cosas como "el conjunto de todos los enteros Impares menores que 153", pero tus axiomas no tienen suficiente maquinaria en ellos para generar algo así.
Creo que el problema básico aquí es que si vamos a ser ultrafinitistas y sólo admitir la existencia de enteros hasta cierto tamaño $n$ entonces cualquier teoría de conjuntos que pueda describir la existencia de todos los conjuntos formados por esos enteros va a tener un número de conjuntos mucho, mucho mayor que $n$ --- a menos que no proporcionemos suficiente maquinaria para generar un rico universo de conjuntos a partir de estos enteros, en cuyo caso no se sentirá como una realización convincente de lo que tenemos en mente cuando hablamos de una teoría de conjuntos. Este problema ya es bastante grave sin el conjunto universal. El conjunto universal lo hace infinitamente malo.
