Triángulo de Pascals dado un dado de n caras

Question

Estoy luchando con un problema que implica la determinación de la probabilidad de una moneda o un dado y el triángulo de Pascal. Para una moneda o un dado de dos caras, si se va a la fila equivalente a la cantidad de lanzamientos, la cantidad de combinaciones posibles para cada resultado posible se especifica en esa fila. Por ejemplo, si se lanza una moneda dos veces y se mira la segunda fila del triángulo, se verá 1,2,1, lo que significa que hay una forma de sacar HH, dos formas de sacar HT(TH) y una forma de sacar TT. Teniendo esto en cuenta, el problema pregunta: "Generar las diez primeras filas de un triángulo equivalente para un dado de tres caras". Mi primera idea sería generar algo parecido a esto:

            1
           111
          122211
        1333633311 etc...

Pero esto no parece correcto.

Answer 1

Puede que me equivoque, pero creo que tiene que ser un objeto tridimensional. Mientras que el $i$ -El octavo estrato del triángulo de Pascal es un segmento de línea (el zerno es 1, el primero es 1 1, el tercero es 1 2 1, etc.) de longitud $i+1$ Aquí cada capa será un triángulo.

La zerra será $$ 1 $$ el primero será $$ 1\\ 1\ 1 $$ el segundo será $$ 1\\ 2\ 2\\ 1\ 2\ 1 $$ etc.

Sólo para aclarar la segunda capa, si el troquel tiene caras etiquetadas $0, 1, 2$ , la parte superior $1$ corresponde al resultado $00$ Los dos $2$ en la segunda fila corresponden a $01$ y $02$ y la tercera fila corresponde a $11$ , $12$ y $22$ .

Y los números que aparecen son, justamente, los coeficientes multinomiales .

Answer 2

Una pista: Podrías mirar el triángulo trinomio que son los coeficientes al expandir \begin{align*} (1+x+x^2)^n \end{align*}

Los coeficientes comienzan con \begin{array}{ccc} &&&1\\ &&1&1&1\\ &\color{blue}{1}&\color{blue}{2}&\color{blue}{3}&2&1\\ 1&3&\color{blue}{6}&7&6&3&1 \end{array}

y cada entrada está determinada por la suma de tres entradas de la fila anterior. Por ejemplo $$\color{blue}{6}=\color{blue}{1}+\color{blue}{2}+\color{blue}{3}$$

Los lanzamientos consecutivos con un dado de dos caras pueden interpretarse como paseos enrejados en el plano con dos pasos posibles $(1,1)$ y $(1,-1)$ . Del mismo modo, los lanzamientos con un dado de tres caras corresponden a paseos de celosía en el plano con pasos en tres direcciones $(1,-1), (1,0)$ y $(1,1)$ .

Answer 3

La solución es un tetraedro, empezando:

$$1$$ $$1\\11$$ $$1\\22\\121$$ $$1\\33\\363\\1331$$ $$1\\4\;\;4\\6\;\underline{12}\;6\\4\;\underline{12}\;\underline{12}\;4\\1\;\;\;4\;\;\;6\;\;\;4\;\;\;1$$

El $n^{th}$ capa, $j^{th}$ fila, $k^{th}$ es el coeficiente de:

$$x^jy^{k-j}z^{n-k}$$

en

$$(x+y+z)^n$$

y obedecen a la relación de recurrencia:

$$\operatorname{Trin}(j,k,n)=\operatorname{Trin}(j-1,k,n-1)+\operatorname{Trin}(j,k-1,n-1)+\operatorname{Trin}(j-1,k-1,n-1)$$

En forma cerrada:

$$\operatorname{Trin}(j,k,n)=\binom{n}{j}\binom{j}{k}$$