Demuestre si $a>1$ entonces $\lim_{n\rightarrow\infty}a^{n}=\infty $

Question

Buenos días estaba pensando en este problema y hago esto. Necesito que alguien revise mi ejercicio y me diga si es bueno o malo. Gracias.

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Problema: Demostrar si $a>1$ entonces $\lim_{n\rightarrow\infty}a^{n}=\infty $

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Prueba:

Supongamos que $\left\{ a^{n}\right\} $ es monótonamente creciente. En otras palabras $a^{n}<a^{n+1}< a^{n+2}...$ y Supongamos $\left\{ a^{n}\right\} $ es un conjunto limitado, entonces $\left\{ a^{n}\right\} $ convergen. Por definición $\lim_{n\rightarrow\infty}a^{n}=L$ .

Sabemos que esto

$\left(a^{n+1}-a^{n}\right)=a^{n}(a-1)$ , $(a-1)>0$ . Porque $a>1$

Entonces

$a^{n}(a-1)>(a-1)\Rightarrow a^{n}>1$

Existe $N \mathbb{N} $ tal que $a^{N}$ > $L$ y $\left\{ a^{n}\right\} $ es un conjunto no acotado Entonces $\left\{ a^{n}\right\} $ divergen y

$\lim_{n\rightarrow\infty}a^{n}=\infty$

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Pero, no estoy seguro de que esté bien, por favor ayuda.

Answer 1

Tu redacción es muy mala - por ejemplo, dices "supongamos $\{a^n\}$ es monótonamente creciente", pero en realidad eso no es algo que deba Supongamos que es algo que es verdadero y deberías probarlo.

En el siguiente paso tienes una buena idea: una vez que sepas que $\{a_n\}$ es monótona creciente, se puede utilizar el teorema de la convergencia monótona para derivar una contradicción. Desgraciadamente, como otros han señalado, tu intento de demostración a partir de ahí es un galimatías matemático.

En su lugar, puede utilizar un argumento como el siguiente: Supongamos que $\{a^n\}$ estaban acotados. Entonces por el teorema de convergencia monótona tiene un límite $L$ . Por la definición de límite, para cada $\epsilon$ podemos elegir un $n_0$ tal que $|L-a^n|\lt\epsilon$ para todos $n\gt n_0$ . Ahora, el plan es encontrar un $\epsilon$ para los que esto se rompe. Si elegimos algunos $m\gt n_0$ y el épsilon "correcto", entonces la idea es que $a^m$ está "lo suficientemente cerca" de $L$ que $a^{m+1}=a\cdot a^m$ está garantizado que es mayor que $L$ (¿qué tamaño tiene $\epsilon$ para garantizarlo?); entonces $a^{m+2}=a\cdot a^{m+1}\gt aL$ . Pero esto implica que $|a^{m+2}-L|\gt (aL-L)=(a-1)L$ y si $\epsilon$ se elige correctamente, entonces esto suple la contradicción y demuestra que la suposición de acotación debe ser errónea.

Answer 2

Si hay un límite es una se uencia cauchy. Es decir, a^(n+1)-a^(n) va a 0, o ( ) a^n(a-1) va a 0. Pero ( ) está claramente en aumento.

Answer 3

A^x= e^(x *ln (a)). e^x es una función cada vez más creciente y también lo es este estiramiento de dicha función. El límite es el infinito.