Demuestre si $a>1$ entonces $\lim_{n\rightarrow\infty}a^{n}=\infty $

Question

Buenos días estaba pensando en este problema y hago esto. Necesito que alguien revise mi ejercicio y me diga si es bueno o malo. Gracias.

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Problema: Demostrar si $a>1$ entonces $\lim_{n\rightarrow\infty}a^{n}=\infty $

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Prueba:

Supongamos que $\left\{ a^{n}\right\} $ es monótonamente creciente. En otras palabras $a^{n}<a^{n+1}< a^{n+2}...$ y Supongamos $\left\{ a^{n}\right\} $ es un conjunto limitado, entonces $\left\{ a^{n}\right\} $ convergen. Por definición $\lim_{n\rightarrow\infty}a^{n}=L$ .

Sabemos que esto

$\left(a^{n+1}-a^{n}\right)=a^{n}(a-1)$ , $(a-1)>0$ . Porque $a>1$

Entonces

$a^{n}(a-1)>(a-1)\Rightarrow a^{n}>1$

Existe $N \mathbb{N} $ tal que $a^{N}$ > $L$ y $\left\{ a^{n}\right\} $ es un conjunto no acotado Entonces $\left\{ a^{n}\right\} $ divergen y

$\lim_{n\rightarrow\infty}a^{n}=\infty$

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Pero, no estoy seguro de que esté bien, por favor ayuda.

Answer 1

Otra forma

Dejemos que $a>1$ . $$a^n=e^{n\ln(a)}\underset{\ln(a)>0}{>}n\ln(a)\underset{n\to \infty }{\longrightarrow }\infty .$$

Otra forma (usando Bernoulli)

Desde $a>1$ , hay $\varepsilon>0$ s.t. $$a=1+\varepsilon.$$ Usando Bernoulli, $$a^n=(1+\varepsilon)^n\geq n\varepsilon+1.$$

Answer 2

Simplemente utilice esta versión de La desigualdad de Bernoulli :

Para cualquier $a>0$ , uno tiene $\quad a^n-1\ge n(a-1)$

para mostrar que $a^n$ puede hacerse mayor que cualquier número prescrito.

Answer 3

Puedes lograr tu prueba usando la contradicción: Si el límite $L$ de $(a^n)$ es finito entonces

$$\lim_{n\to\infty} a^{n+1}-a^n=0=\lim_{n\to\infty} a^n(a-1)=L(a-1)\implies L=0$$ que es una contradicción.

Una prueba alternativa es: dejemos que $h>0$ tal que $a=1+h$ así que

$$a^n=(1+h)^n\ge 1+nh\xrightarrow{n\to\infty}+\infty$$

Answer 4

Lo que hay que demostrar es que para cualquier $x > 0$ Hay un $N > 0$ tal que $a^N > x$ .

Dado que ha demostrado que la diferencia entre elementos es mayor que $a - 1$ Esto significa que puede elegir $N$ sea cualquier número entero mayor que $\frac{x}{a-1}$ .

Answer 5

Un problema que veo con su prueba es que $$ (a-1)>0 $$ hace NO implica que $$ a^n(a-1)>(a-1). $$

Esto significa que no se puede cancelar $(a-1)$ en ambos lados para obtener $a^n>1$ . De todos modos, el hecho se puede demostrar fácilmente por inducción, así que este no es el verdadero problema aquí.

El principal problema de tu prueba es que pareces afirmar que si $a^n>1$ para todos $n\in\Bbb N$ entonces existe un $N\in\Bbb N$ tal que $$ a^N>L\ . $$ Esto no se deduce lógicamente de sus puntos anteriores.

Si de alguna manera crees que te he entendido mal, tendrás que ser más explícito en cada uno de tus pasos.