Estoy estudiando de Goldstein Mecánica clásica , 3ª edición. En la sección 2.4, discutió el principio de Hamiltion con restricciones semiholonómicas. Las restricciones pueden escribirse en la forma $f_\alpha(q_1,...,q_n;\dot{q_1},...,\dot{q_n};t)=0$ donde $\alpha=1,...,m$ . Utilizando el principio variacional, obtenemos
$$\delta\int_{t_1}^{t_2}\left(L+\sum_{\alpha=1}^m \mu_\alpha f_\alpha\right)\mathrm dt=0 \tag{2.26}$$
donde $\mu_\alpha=\mu_\alpha(t)$ .
Pero cómo puede conseguir la fórmula
$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q_k}}-\frac{\partial L}{\partial q_k}=-\sum_{\alpha=1}^m \mu_\alpha \frac{\partial f_\alpha}{\partial\dot{q_k}} \tag{2.27}$$
para $k=1,...,n$ de la fórmula anterior?
Cuando sigo los pasos de la sección 2.3, obtengo $$\frac{dI}{d\beta}=\int_{t_1}^{t_2}\sum_{k=1}^n\left(\frac{\partial L}{\partial q_k}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q_k}}+\sum_{\alpha=1}^m \mu_\alpha\left(\frac{\partial f_\alpha}{\partial q_k}-\frac{d}{dt}\frac{\partial f_\alpha}{\partial\dot{q_k}}\right)\right)\frac{\partial q_k}{\partial\beta}\mathrm dt$$ donde $\beta$ denota el parámetro de pequeño cambio de trayectoria: \begin{align} q_1(t,\beta)&=q_1(t,0)+\beta\eta_1(t)\\ q_2(t,\beta)&=q_2(t,0)+\beta\eta_2(t)\\ &\ \,\,\vdots \end{align} Utilizando el mismo argumento que en la parte de la restricción holonómica de la sección 2.4, obtengo $$\frac{\partial L}{\partial q_k}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q_k}}+\sum_{\alpha=1}^m \mu_\alpha \left(\frac{\partial f_\alpha}{\partial q_k}-\frac{d}{dt}\frac{\partial f_\alpha}{\partial\dot{q_k}}\right)=0$$ para $k=1,...,n$ .
¿Qué me falta?
