Dimensión de la intersección de subespacios afines

Question

Dejemos que $\alpha,\beta,a,b,c \in \mathbb{R}.$ Consideremos tres planos afines en el espacio afín $\mathbb{R}^{3}$ : $P_{1}$ de la ecuación $x+2y+\beta z=a$ , $P_2$ de la ecuación $2x+y=b$ , $P_{3}$ de la ecuación $\alpha x +(\alpha+1)y=c.$

Cuál es la dimensión de su intersección $F=P_1 \cap P_2 \cap P_3$ ? Cuando F no es vacío, dalo como un sistema de ecuaciones (con el menor número posible de ecuaciones).

mis intentos

para calcular la dimensión de $F$ lo que hemos demostrado es que $P_1,P_2,P_3$ son subespacios afines de $R^{3}$ independientes Entonces podemos escribir $dim F=dim(P_1P_2P_3)=$

Para demostrar que han demostrado que $P_1,P_2,P_3$ son subespacios afines de $R^{3}$ independiente tenemos que demostrar que $P_1=kerf_{1}$ con $f_1$ es una forma lineal no nula y $P_2=kerf_{2}$ con $f_2$ es una forma lineal no nula y $P_3=kerf_{3}$ con $f_3$ es una forma lineal no nula

cómo podemos demostrar que f_1 f_2 f_3 son formas lineales independientes de cero

por ejemplo podemos considerar $P_1=Ker f_1$ con

$$\begin{array}{ccccc} f_1 & : & R^3 & \longrightarrow & R \\ & & (x,y,z) & \mapsto & f(x,y,z)=x+2y+\beta. z=a \\ \end{array}$$

tenemos que mostrar $f_1$ es una forma lineal no nula

si $a=$ es un espacio vectorial

si es posible que alguien sugiera una respuesta detallada

¡cualquier ayuda será apreciada!

Answer 1

Un punto de coordinación $(x,y,z)$ pertenece a la intersección de los tres planos si satisface las tres ecuaciones, es decir, el sistema propuesto por Greg Martin. Este sistema se resuelve fácilmente con el método de Gauss. En función de los valores de los parámetros alfa y beta el rango $r$ del sistema es diferente y la dimensión de $F$ es $3 -r$ . Voyez http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=U1/algebra/docsyslin.fr

El profesor que realizó el ejercicio

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Un punto con coordenadas $(x,y,z)$ pertenece a la intersección de los tres planos si satisface las tres ecuaciones, es decir, el sistema

$$\begin{pmatrix} 1&2&\beta \\ 2&1&0 \\ \alpha&\alpha+1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}$$

propuesta por Greg Martin . Este sistema se resuelve fácilmente mediante la eliminación de Gauß. El rango $r$ del sistema depende del valor de los parámetros $\alpha$ y $\beta$ y la dimensión de $F$ es $3-r$ . Ver http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=U1/algebra/docsyslin.fr

El profesor y autor del ejercicio.