Demostrar que $G\oplus H$ es cíclico si los grupos finitos $G$ y $H$ son cíclicos y $\gcd(|G|,|H|)=1$
Mi respuesta es:
$(\Rightarrow )$ Supongamos que $G\oplus H$ es cíclico. Entonces hay un generador $g=(g_1 ,g_2)$ de ese grupo. Para cualquier elemento $x\in G,y\in H $ , $h=(x,y)\in G\oplus H$ . Así que, $h=g^m$ para algún número entero positivo $m$ es decir, $(g_1,g_2)^m=(g_1^m,g_2^m)=(x,y)$ . Así, $g_1,g_2$ generan G y H respectivamente. Ahora, supongamos por reducción que $\gcd(|G|,|H|)=a>1$ . Sea $|G|=a\cdot k$ y $|H|=a\cdot l$ . Desde $g_1,g_2$ son generadores de G y H, $g^{a\cdot k\cdot l}=e_{G\oplus H}$ . Entonces, como $akl<a^2kl$ por supuesto $a>1$ g no puede generar $G\oplus H$ . Contradicción.
( $\Leftarrow$ ) Como cada grupo es cíclico, hay generadores $g_1,g_2$ de G,H respectivamente. Así, si tomamos un elemento $g=(h_1,h_2)$ , digamos que $g_1^m=h_1, g_2^n=h_2$ de $G\oplus H$ entonces $(g_1,g_2)^{m\times n\times lcm(|G|,|H|)}=g$ .
Así que mis preguntas son:
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¿Es correcto?
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En la dirección derecha-izquierda, me parece que la condición $\gcd(|G|,|H|)=1$ es inútil. Entonces, ¿es correcto pensar eso?
