Supongamos que $A$ es una matriz cuadrada definida como sigue: $$A=\sum_{i} u_{i}u_{i}^T$$ donde para cada $i$ , $u_i$ es un vector de columnas no negativo.
¿Las matrices de estas formas tienen algún nombre especial?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Luke P M
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Sí, estos son los matrices completamente positivas .
chocojosh
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Hay un problema con el término "vector de columnas no negativas". La noción de no negativo se define para las matrices cuadradas.
Podemos exigir $u_i$ de tal manera que $M=[u_{ij}]$ es positivo (no negativo) que es tal que $M=UU^*$ para alguna matriz cuadrada $U$ .
También existe una noción diferente de positividad (de nuevo para matrices cuadradas) que requiere que las entradas sean no negativas.
Una idea vagamente relacionada es la siguiente. Si $M$ es una matriz simétrica diagonalizada ortogonalmente por
$P=[u_1\space{} u_2\space{}\dots u_n]$
y si $\lambda_i$ son vectores propios de $M$ correspondiente a los vectores propios unitarios $u_i$ 's, entonces
$M=\lambda_1 u_1u_1^T+\dots +\lambda_nu_nu_n^T$
se llama la descomposición espectral de $M$ .
user64759
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132
Supongamos que hay $n$ tal $u_i$ y hay exactamente $k$ vectores linealmente independientes entre sí, entonces la matriz $A$ sería una matriz rank-k.
Cada uno de los $u_iu_i^t$ es una matriz de rango 1 y suman una matriz de rango k si exactamente k de ellas son linealmente independientes.
Como $x^t(u_iu_i^t)x=(x^tu_i)(x^tu_i)^t \gt0$ cada uno de los $u_iu_i^t$ es una matriz simétrica definida positiva, por lo que A también es una matriz simétrica definida positiva.
