¿Es válida esta afirmación como prueba?

Question

Tengo una función $g(x)$ y tengo que demostrar que $\; g(x)-x g'(x)\neq0$ en el dominio $0<x<a$ , donde $a$ es un número real positivo. Usando la serie de Taylor para la expresión mencionada alrededor de $x=0$ obtenemos $ \; g(x)-x g'(x)=a x^3+O(x^5)$ . Entonces, ¿significa esto que $\; g(x)-x g'(x)$ es siempre distinto de cero en el dominio $(0,a)$ ? ¿Puede considerarse una prueba?

Answer 1

No, esto no es una prueba, ya que cualquier constante posible podría estar contenida en el $O$ y por lo tanto $O(x^5)$ puede ser arbitrariamente grande en $(0,a)$ . Es decir, puede ser igual a $ax^3$ donde queramos que esté.

Answer 2

Su afirmación es cierta pero no es en absoluto el intervalo $(0,a)$ es cierto en una determinada vecindad de $ 0$ .

$$(\forall x\in (0,a))\; g(x)-xg'(x)=ax^3+O(x^5)\implies $$

$$(\forall x\in (0,a)) g(x)-xg'(x)=ax^3(1+x\epsilon(x))$$ con $$\lim_{x\to 0,x\ne 0}\epsilon(x)=0$$

Para $ x $ cerca de cero, $ -\frac 12<x\epsilon(x)<\frac 12$ Por lo tanto

$$(\exists \eta>0)\;: (\forall x\in (0,\eta))$$ $$g(x)-xg'(x)=ax^3(1+x\epsilon(x))>\frac{ax^3}{2}>0$$