Inspirado en un pregunta similar He estado trabajando en este tema al mismo tiempo que Rob Jeffries. Irritantemente, él se me adelantó; pero como yo uso un enfoque ligeramente diferente y como no quiero que mis esfuerzos sean en vano, publicaré mi propia derivación. Aunque sólo sea para confirmar su fantástica respuesta :)
Comencemos por enunciar las coordenadas de Kruskal-Szekeres (región I)
$$u = f(r)\cosh\left(\frac{ct}{2r_\text{s}}\right), \qquad v = f(r)\sinh\left(\frac{ct}{2r_\text{s}}\right),\\ f(r) = \left(\frac{r}{r_\text{s}}-1\right)^{\!1/2}\,\text{e}^{r/2r_\text{s}}.$$
Como es sabido, en estas coordenadas las geodésicas de los rayos luminosos que inciden radialmente son líneas rectas en $-45^\circ$ ángulos. De hecho, si conectamos $u + v= k$ en las ecuaciones, con $k$ una constante, entonces de $u^2 - v^2 = f(r)^2$ encontramos $k(u -v) = f(r)^2$ para que $$ k\exp\left(-\frac{ct}{2r_\text{s}}\right) = f(r) = \left(\frac{r}{r_\text{s}}-1\right)^{\!1/2}\,\exp\left(\frac{r}{2r_\text{s}}\right), $$ o $$ \frac{ct}{r_\text{s}} = \ln(k^2)-\frac{r}{r_\text{s}} - \ln\left(\frac{r}{r_\text{s}}-1\right), $$ que son, en efecto, las geodésicas de un fotón en inflexión radial, con $k = f(r_{0,\gamma})$ y $r_{0,\gamma}$ la posición inicial del fotón en $t=0$ .
Ahora, supongamos que tenemos un objeto en inflexión radial, que comienza en reposo en una posición $r_0$ en $t=0$ . ¿Qué fotones en inflexión radial alcanzarán el objeto antes de que éste cruce el horizonte de sucesos? Para responder a esto, intentaremos deducir la geodésica de un fotón en inflexión radial tal que alcance al objeto justo en el horizonte de sucesos.
La geodésica de un objeto de inflexión radial puede escribirse en la forma (Misner, Thorne & Wheeler Ec. (31.10), Pag. 824) $$\begin{align} r &= \frac{r_0}{2}(1+\cos\eta) = r_0\cos^2\eta/2,\\ \frac{c\tau}{r_\text{s}} &= \frac{1}{2}\left(\frac{r_0}{r_\text{s}}\right)^{\!3/2}(\eta + \sin\eta),\\ \frac{ct}{r_\text{s}} &= \ln\left(\frac{\sqrt{r_0/r_\text{s} -1} + \tan\eta/2}{\sqrt{r_0/r_\text{s} -1} - \tan\eta/2}\right) + \left(\frac{r_0}{r_\text{s}}-1\right)^{\!1/2}\left(\eta + \frac{r_0}{2r_\text{s}}(\eta + \sin\eta)\right). \end{align} $$ También es instructivo introducir la energía total (adimensional) del objeto $$ E = \frac{\mathcal{E}}{mc^2} = \left(1- \frac{r_\text{s}}{r}\right)\frac{\text{d}t}{\text{d}\tau}. $$ Las órbitas radiales satisfacen la ecuación $$ \left(\frac{\text{d}r}{c\,\text{d}\tau}\right)^2 = E^2 - \left(1- \frac{r_\text{s}}{r}\right), $$ por lo que si el objeto está en reposo en la posición $r_0$ en $t = \tau = 0$ entonces $$ E = \sqrt{1- \frac{r_\text{s}}{r_0}}. $$ La ecuación para $t(\eta)$ se puede reescribir como $$ \frac{ct}{r_\text{s}} = \ln\left(\frac{E + \sqrt{1-E^2}\tan\eta/2}{E - \sqrt{1-E^2}\tan\eta/2}\right) + \frac{E}{\sqrt{1-E^2}}\left(\eta + \frac{\eta + \sin\eta}{2(1-E^2)}\right). $$ A continuación, seguiré este artículo (que contiene algunos errores) para deducir cómo se comporta esta ecuación como $r$ se acerca al horizonte de sucesos. Escribimos $$ r = r_\text{s}(1+\varepsilon),\qquad \varepsilon\rightarrow 0. $$ Cerca del horizonte de sucesos podemos ignorar los términos de orden superior en $\varepsilon$ para que $$\begin{align} \cos^2\eta/2 &= (1+\varepsilon)\frac{r_\text{s}}{r_0} = (1+\varepsilon)(1-E^2) = 1 - E^2 + \varepsilon(1-E^2),\\ \sin^2\eta/2 &= E^2 - \varepsilon(1-E^2), \end{align} $$ y $$\begin{align} (1-E^2)\tan^2\eta/2 &= \frac{E^2 - \varepsilon(1-E^2)}{(1+\varepsilon)} \\ &\approx \left[E^2 - \varepsilon(1-E^2)\right](1-\varepsilon)\\ &\approx E^2 - \varepsilon(1-E^2) - \varepsilon)E^2 = E^2 - \varepsilon. \end{align} $$ Por lo tanto, $$\begin{align} E + \sqrt{1-E^2}\tan\eta/2&\approx E\left(1 + \sqrt{1 - \varepsilon/E^2}\right)\\ &\approx 2E - \frac{\varepsilon}{2E}\approx 2E, \end{align} $$ y $$\begin{align} E - \sqrt{1-E^2}\tan\eta/2&\approx E\left(1 - \sqrt{1 - \varepsilon/E^2}\right)\\ &\approx \frac{\varepsilon}{2E}, \end{align} $$ Para que finalmente, como $r\rightarrow r_\text{s}$ , $$ \frac{ct_\text{s}}{r_\text{s}} \approx \ln\left(\frac{4E^2}{\varepsilon}\right) + \frac{E}{\sqrt{1-E^2}}\left(\eta_\text{s} + \frac{\eta_\text{s} + \sin\eta_\text{s}}{2(1-E^2)}\right), $$ con $\eta_\text{s}$ el valor de $\eta$ en el horizonte de sucesos. Dado que $\cosh(x) = \sinh(x) \rightarrow \text{e}^x/2$ como $x\rightarrow\infty$ las coordenadas de Kruskal-Szekeres del objeto en el horizonte de sucesos se convierten (ya que $t\rightarrow\infty$ ) $$\begin{align} u_\text{s}^2 = v_\text{s}^2 &= \frac{1}{4}f(r_\text{s})^2\,\exp\left(\frac{ct_\text{s}}{r_\text{s}}\right) = \frac{\varepsilon\text{e}}{4}\exp\left(\frac{ct_\text{s}}{r_\text{s}}\right)\\ &= \text{e}E^2 \exp\left[\frac{E}{\sqrt{1-E^2}}\left(\eta_\text{s} + \frac{\eta_\text{s} + \sin\eta_\text{s}}{2(1-E^2)}\right)\right], \end{align} $$ o $$\begin{align} u_\text{s} = v_\text{s} &= \sqrt{\text{e}}E \exp\left[\frac{E}{2\sqrt{1-E^2}}\left(\eta_\text{s} + \frac{\eta_\text{s} + \sin\eta_\text{s}}{2(1-E^2)}\right)\right]\\ &= \sqrt{\text{e}}\sqrt{\frac{r_\text{s}}{r_0}}\left(\frac{r_0}{r_\text{s}}- 1\right)^{\!1/2} \exp\left[\frac{1}{2}\left(\frac{r_0}{r_\text{s}}-1\right)^{\!1/2}\left(\eta_\text{s} + \frac{r_0}{2r_\text{s}}(\eta_\text{s} + \sin\eta_\text{s})\right)\right]. \end{align} $$ Las coordenadas correspondientes para un fotón de inflexión radial satisfacen $u_\text{s} + v_\text{s} = k_\text{b}$ para algún valor límite $k_\text{b}$ . Por lo tanto, $k_\text{b} = 2u_\text{s}$ y encontramos la correspondiente geodésica nula $$ \frac{ct}{r_\text{s}} = \ln(k_\text{b}^2)-\frac{r}{r_\text{s}} - \ln\left(\frac{r}{r_\text{s}}-1\right). $$ Podríamos resolver esto para $r$ en $t=0$ , lo que da lugar a un radio límite $r_\text{b}$ más allá de la cual los fotones en inflexión radial no pueden alcanzar al objeto antes de cruzar el horizonte de sucesos. Como alternativa, podemos introducir $r=r_0$ y preguntar cuál es el tiempo máximo $\Delta t$ es tal que los fotones enviados a $r_0$ antes de $t=\Delta t$ todavía puede alcanzar el objeto. Encontramos $$\begin{align} \frac{c\Delta t}{r_\text{s}} &= \ln(k_\text{b}^2)-\frac{r_0}{r_\text{s}} - \ln\left(\frac{r_0}{r_\text{s}}-1\right)\\ &= 1 + \ln\left(\frac{4r_\text{s}}{r_0}\right) + \left[\left(\frac{r_0}{r_\text{s}}-1\right)^{\!1/2}\left(\eta_\text{s} + \frac{r_0}{2r_\text{s}}(\eta_\text{s} + \sin\eta_\text{s})\right)\right]-\frac{r_0}{r_\text{s}}, \end{align} $$ que es exactamente el mismo resultado dado por Rob Jeffries.
He hecho un gráfico para visualizar los resultados, en coordenadas de Schwarzschild y Kruskal-Szekeres:
![enter image description here]()
La curva azul es la geodésica de un objeto, en reposo a $t=0$ (aquí, $r_0 = 2r_\text{s}$ ). La curva naranja es la geodésica de un fotón que se encuentra en la posición $r_0$ en $t=0$ . La curva roja es la geodésica que derivé en este post. Comienza en la posición $r_\text{b}$ en $t=0$ y alcanza al objeto justo en el horizonte de sucesos. Las geodésicas de los fotones que se encuentran entre las curvas naranja y roja (he trazado dos, las curvas rayadas) alcanzarán al objeto, las geodésicas más allá de la curva roja no.
