Al identificar los lados opuestos de los polígonos obtenemos una superficie. Por ejemplo, el toro puede obtenerse pegando los lados opuestos de un cuadrado.
Vi una afirmación de que si identificamos 3 lados de un polígono entonces no obtenemos una superficie. No veo por qué esto es cierto?
¿Alguien podría explicar a qué se debe esto?
Cuando se identifican tres lados de un polígono, entonces localmente a lo largo del lado identificado se obtiene un espacio que parece tres semiplanos pegados a lo largo de su frontera. Se puede visualizar como $\mathsf{Y}\times\mathbb{R}$ donde $\mathsf{Y}$ es un espacio con la forma de la letra Y (en otras palabras, tres segmentos de línea pegados en un punto). Eso no es localmente homeomorfo a $\mathbb{R}^2$ (aunque cuesta trabajo demostrarlo con rigor), así que no es una superficie.
Esto contrasta con lo que ocurre cuando se identifican dos lados: entonces se obtienen dos semiplanos pegados, que forman un plano entero, por lo que es localmente homeomorfo a $\mathbb{R}^2$ .
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