Estoy leyendo el libro Análisis lineal por Bollobás. Tengo un poco de problemas para entender parte de la demostración del teorema 7 en el capítulo 13, que dice:
Dejemos que $T$ sea un operador compacto y suponga $\lambda \neq 0$ no es un valor propio de $T$ . Entonces $\lambda \notin \sigma(T)$ .
La prueba se basa en el siguiente lema:
Lema 5: Sea $T : X \rightarrow X$ ser compacto, y establecer $S = Id-T$ . Entonces $SX$ es un subespacio cerrado de $X$ .
La parte de la prueba que no entiendo es la siguiente.
Dejemos que $T:X \rightarrow X$ ser compacto, y establecer $S = Id-T$ . Sea $Y_n = S^n(X)$ . Por el lema 5, los subespacios $Y_n$ están cerradas.
Entiendo por qué $Y_1 = S(X)$ está cerrado, pero no entiendo por qué el resto de $Y_n$ están cerradas. No parece que se desprenda directamente del lema 5.
Supongo que se podría decir $S^n = (Id-T)^n = Id - \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} (-1)^{k-1} T^k$ y como la colección de operadores compactos es un subespacio, el lema 5 se aplica aquí. Pero, esto parece demasiado complicado como para pasarlo por alto. ¿Es esta la forma en que debo pensar en ello, o hay una justificación más simple?
