Dejemos que $^1$
- $U$ y $H$ ser separable $\mathbb R$ -Espacios Hilbert
- $Q\in\mathfrak L(U,H)$ sea un operador no negativo y simétrico sobre $U$ con traza finita
- $(e_n)_{n\in\mathbb N}$ sea una base ortonormal de $U$ con $$Qe_n=\lambda_ne_n\;\;\;\text{for all }n\in\mathbb N$$ para algunos $(\lambda_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq[0,\infty)$
- $(\Omega,\mathcal A,\operatorname P)$ sea un espacio de probabilidad y $(\mathcal F_t)_{t\ge 0}$ sea una filtración de $\mathcal A$
- $W$ ser un $Q$ -Proceso Wiener en $(\Omega,\mathcal A,\operatorname P)$ con respecto a $\mathcal F$ , $$B^{(n)}:=\begin{cases}\frac{\langle W,e_n\rangle_U}{\sqrt{\lambda_n}}&\text{, if }n\in\mathbb N\text{ with }\lambda_n>0\\0&\text{, else}\end{cases}$$ y $$W^{(n)}:=\sum_{i=1}^n\sqrt{\lambda_i}B^{(i)}e_i\;\;\;\text{for }n\in\mathbb N$$
Tenga en cuenta que el $B^{(n)}$ son independientes $\mathcal F$ -Movimientos brownianos en $(\Omega,\mathcal A,\operatorname P)$ , $$\left\|W_t^{(n)}-W_t\right\|_{L^2(\operatorname P,\;U)}\stackrel{n\to\infty}\to 0\;\;\;\text{for all }t\ge 0\tag 1$$ y $$\operatorname P\left[\left\|W^{(n)}-W\right\|_{C^0([0,\;t],\;U)}\stackrel{n\to\infty}\to 0\right]=1\;\;\;\text{for all }t\ge 0\tag 2$$
Ahora, dejemos que $(\Phi_t)_{t\ge 0}$ ser un $\mathfrak L(U,H)$ -valorado $\mathcal F$ -adaptado y acotado localmente $^2$ proceso estocástico en $(\Omega,\mathcal A,\operatorname P)$ con $$\Phi_t=\sum_{i=1}^n\xi_{i-1}1_{(t_{i-1},t_i]}\;\;\;\text{for all }t\ge 0\tag 3$$ para algunos $\mathfrak L(U,H)$ -variables aleatorias valoradas $\xi_0,\ldots,\xi_{n-1}$ en $(\Omega,\mathcal A,\operatorname P)$ y algunos $0=t_0<\cdots<t_n$ . Además, dejemos que $$\int_0^t\Phi_s{\rm d}W_s:=\sum_{i=1}^n\xi_{i-1}\left(W_{t_i\wedge t}-W_{t_{i-1}\wedge t}\right)\;\;\;\text{for }t\ge 0\;.$$
Dejemos que $x\in H$ . ¿Cómo podemos demostrar que $$\langle\int_0^t\Phi_s{\rm d}W_s,x\rangle_H=\sum_{n\in\mathbb N}\int_0^t\langle\sqrt{\lambda_n}\Phi_se_n,x\rangle_H{\rm d}B_s^{(n)}\tag 4$$ en $L^2(\operatorname P)$ para todos $t\ge 0$ ?
Dejemos que $$X^{(n)}_t:=\langle\sqrt{\lambda_n}\Phi_te_n,x\rangle_H\;\;\;\text{for }n\in\mathbb N\text{ and }t\ge 0\;.$$ Por definición del Integral de Ito con respecto a un movimiento browniano , $$\int_0^tX^{(n)}_s{\rm d}B_s=\sqrt{\lambda_n}\sum_{i=1}^n\langle\xi_{i-1}e_n,x\rangle_H\left(B^{(n)}_{t_i\wedge t}-B^{(n)}_{t_{i-1}\wedge t}\right)\;\;\;\text{for all }n\in\mathbb N\text{ and }t\ge 0\;.\tag 5$$
$\color{red}{\text{Now comes the crucial part!}}$ En la siguiente cadena de ecuaciones, ¿por qué $(6)$ y $(7)$ ¿se mantiene?
\begin{equation} \begin{split} \langle\int_0^t\Phi_s{\rm d}W_s,x\rangle_H&=\sum_{i=1}^n\langle\xi_{i-1}\left(W_{t_i\wedge t}-W_{t_{i-1}\wedge t}\right),x\rangle_H\\ &\stackrel{(6)}{\color{red}=}\sum_{i=1}^n\langle\xi_{i-1}\sum_{k\in\mathbb N}\sqrt{\lambda_k}\left(B^{(k)}_{t_i\wedge t}-B^{(k)}_{t_{i-1}\wedge t}\right)e_k,x\rangle_H\\ &=\sum_{i=1}^n\sum_{k\in\mathbb N}\sqrt{\lambda_k}\langle\xi_{i-1}e_k,x\rangle_H\left(B^{(k)}_{t_i\wedge t}-B^{(k)}_{t_{i-1}\wedge t}\right)\\ &\stackrel{(7)}{\color{red}=}\sum_{k\in\mathbb N}\sum_{i=1}^n\sqrt{\lambda_k}\langle\xi_{i-1}e_k,x\rangle_H\left(B^{(k)}_{t_i\wedge t}-B^{(k)}_{t_{i-1}\wedge t}\right)\\ &=\sum_{k\in\mathbb N}\int_0^tX^{(k)}_s{\rm d}B^{(k)}_s \end{split} \N - Etiqueta 8 \fin{s} {equipamiento}
para todos $t\ge 0$ . En particular, no entiendo muy bien en qué sentido la cadena de ecuaciones $(8)$ sostiene. En el sentido de $L^2(\operatorname P)$ -convergencia o en el sentido de $\operatorname P$ -¿convergencia casi segura?
$^1$ Dejemos que $\mathfrak L(U,H)$ denotan el espacio de operadores lineales acotados de $U$ a $H$ .
$^2$ es decir $$\sup_\Omega\left\|\Phi_t\right\|_{\mathfrak L(U,\;H)}<\infty\;\;\;\text{for all }t\ge 0\;.$$
