Diferenciación de un logaritmo natural con fracción de funciones trigonométricas

Question

Estoy empezando con la diferenciación y me encontré con el siguiente ejercicio: Encontrar $\frac{df(x)}{dx}$ , donde $$f(x)=\ln \left({\cos x + \sin x \over \cos x - \sin x}\right).$$ Así que he aplicado la regla de la cadena y las reglas del cociente, ya que se trata de una diferenciación compuesta: $$\frac{d\ln f(x)}{dx} = \frac{1}{f(x)} \frac{df(x)}{dx}.$$

Esto da lugar a una ecuación muy grande, especialmente cuando se aplica la regla del cociente: $${(\cos x - \sin x) \over (\cos x + \sin x)} \cdot {(-\sin x + \cos x)(\cos x - \sin x) - (\cos x + \sin x)(-\sin x - \cos x) \over (\cos x - \sin x)^2}$$

No sé si lo estoy haciendo bien. Me gustaría no ser tan específico para que esta pregunta pueda ayudar a otros, pero realmente estoy luchando para resolver esta diferenciación pero soy incapaz de hacerlo. ¿Algún consejo?

Answer 1

Para empezar, puede eliminar la regla del cociente utilizando

$$\ln{(a/b)} = \ln{a} - \ln{b}$$

Ahora tienes

$$\frac{d}{dx} \ln{\left(\frac{\cos{x}+\sin{x}}{\cos{x}-\sin{x}} \right )} = \frac{d}{dx} \ln{(\cos{x}+\sin{x})} - \frac{d}{dx}\ln{(\cos{x}-\sin{x})}$$

Ahora utiliza la regla de la cadena.