Encontrando $n$ -espacios de cobertura de la suma de cuñas $X\vee Y$ de dos espacios.

Question

Todas las referencias/definiciones son de Hatcher.

Supongamos que tengo dos espacios conectados por trayectorias, localmente conectados por trayectorias y semilocalmente conectados de forma simple $X$ y $Y$ y quiero enumerar los $n$ -espacios de cobertura de la suma de cuñas $X\vee Y$ hasta el isomorfismo (considerando los puntos base). Mi pregunta es: en general, ¿cuál sería el $n$ -sustitución de espacios de cobertura de $X\vee Y$ en concreto, en lo que se refiere a $X$ y $Y$ (o sus espacios de cobertura). Supongamos que tenemos descripciones concretas de lo que son todos los espacios de cobertura conectados por trayectorias de $X$ y $Y$ pero nada más allá de eso sobre $X$ o $Y$ ellos mismos. ¿Se puede hacer en este caso?

Mis propios pensamientos: Un $n$ -sustitución del espacio de cobertura de $X\vee Y$ sería necesario que contuviera $n$ ascensores $\tilde x_0$ de la punta de la cuña $x_0$ . Cerca de cada uno de estos puntos $\tilde x_0$ sería alguna vecindad que "se parece" a la alguna vecindad del punto de la cuña de $X\vee Y$ . Esto me hace sentir como el an $n$ -sustitución del espacio de cobertura de $X\vee Y$ se vería como una especie de cadena o gráfico de $X$ y $Y$ 's. (O tal vez sean cadenas/gráficos de $n$ -sustitución de espacios de cobertura de $X$ y $Y$ ? No estoy muy seguro). ¿Es correcta mi intuición?

Algunas otras posibles variaciones de la pregunta que me interesan (aunque incluir las respuestas a éstas no es en absoluto necesario en ninguna respuesta a esta pregunta):

1. ¿Qué podríamos decir de la $n$ -si sólo conociéramos los grupos fundamentales de $\pi_1(X)$ y $\pi_1(Y)$ en lugar de los espacios de cobertura conectados por trayectorias de $X$ y $Y$ (más allá de que los grupos fundamentales de estos espacios de cobertura serían de índice $n$ en $\pi_1(X\vee Y)$ )
2. ¿Y si sólo conociéramos la $n$ -sustitución de espacios de cobertura de $X$ y $Y$ o sólo las cubiertas universales de $X$ y $Y$ , en lugar de todo espacios de cobertura conectados por trayectorias de $X$ y $Y$ ?
3. Entre nuestras condiciones que $X$ y $Y$ estar conectada por un camino, localmente conectada por un camino y semilocalmente conectada de forma simple, ¿cuál de ellas podríamos descartar sin ningún cambio importante en el contexto de este problema?

Gracias.

Answer 1

Creo que he descubierto la respuesta.

Para dar una "descripción concreta" de todos los $n$ -espacio de cobertura hasta el isomorfismo, necesitamos conocer todas las $m$ -sustitución de espacios de cobertura de $X$ y $Y$ para $m\leq n$ . Esto incluye $X$ y $Y$ a sí mismos. En concreto, un $n$ -sustitución del espacio de cobertura de $X\vee Y$ es un "gráfico" conectado con las siguientes propiedades:

1. Hay $n$ bordes
2. Dado un vértice de nuestro gráfico de valencia $m$ Ese vértice es un $m$ -sheeted connected covering space of either $X$ o $Y$ .
3. Ninguna arista conecta dos espacios de cobertura de $X$ o dos espacios de cobertura de $Y$ .

En concreto, en cada vértice, las aristas se unen en puntos que pertenecen a la preimagen del punto base $x_0\in X\vee Y$ . Podemos elegir cualquiera de estas aristas para que sea un punto base del espacio de cobertura. Es decir, una vez construido este grafo, retraemos cada una de las líneas que conectan los vértices que conforman las "aristas" a puntos. Por ejemplo, un gráfico con dos vértices se convertiría en la suma en cuña de dos espacios.

Un ejemplo concreto: considere el espacio $B=\mathbb RP^2\vee T^2$ (donde $T^2=S^1\times S^1$ es el toroide). $B$ tiene $7$ clases de isomorfismo de los espacios de cobertura conectados de dos hojas. Esto se puede ver a partir del hecho de que:

1. $\mathbb RP^2$ tiene un espacio de cobertura de dos hojas, a saber, $S^2$ .
2. $T^2$ tiene tres espacios de cobertura de dos hojas, concretamente los correspondientes a los subgrupos $\langle a^2,b\rangle$ , $\langle a,b^2\rangle$ et $\langle a^2,ba^{-1}\rangle$ de $\pi_1(T^2)=\mathbb Z^2=\langle a,b\mid [a,b]\rangle$ (estos pueden ser vistos como los núcleos de los epimorfismos $\mathbb Z^2\to\mathbb Z_2$ ). Llamemos a estos espacios de cobertura $\widetilde T_1$ , $\widetilde T_2$ et $\widetilde T_3$ ,

Hay dos posibles gráficos conectados con $2$ aristas, a saber, la que tiene tres vértices que se obtienen conectando dos segmentos de línea de extremo a extremo, y la que tiene dos vértices, cada vértice de valencia 2 con ambas aristas que conducen al otro vértice.

En el primer caso, si el vértice central (de valencia 2) es un espacio de cobertura de dos hojas de $\mathbb RP^2$ de los cuales sólo hay una opción, entonces los vértices más externos son ambos $T^2$ . Por otro lado, existen tres posibilidades para el vértice central si se trata de un espacio de cobertura de $T^2$ a saber, $\widetilde T_1$ , $\widetilde T_2$ y $\widetilde T_3$ . Los vértices más externos deben ser $\mathbb RP^2$ . Por lo tanto, hay $4$ posible $2$ -sustitución de espacios de cobertura de $B$ con tres "vértices".

En este último caso, tenemos dos vértices de valencia dos cada uno. Para el vértice que cubre $T^2$ tenemos tres opciones, y para el vértice que cubre $\mathbb RP^2$ . sólo tenemos una opción, la esfera. De este modo, obtenemos $3$ más espacios de cobertura de $B$ .

A continuación he dibujado cada uno de estos gráficos y he etiquetado los vértices en consecuencia. Los vértices rojos corresponden a los espacios de cobertura del toro, mientras que los vértices azules corresponden a los espacios de cobertura de $\mathbb RP^2$ .