Supongamos que $\arctan$ es diferenciable. Demostrar que $\arctan(x) =1-x$ tiene una solución en $(0,1)$ .

Question

Supongamos que $\arctan$ es diferenciable. Demostrar que $\arctan(x) =1-x$ tiene una solución en $(0,1)$ . La pista que se da es utilizar el teorema del valor intermedio (IVT).

No entiendo cómo demostrar que hay una solución utilizando el teorema del valor intermedio. Podrían ayudarme a entender mejor cómo aplicar el TVI en este caso?

Answer 1

Considere la función

$$ f(x)= \arctan(x)+x-1 $$

y ver esto $f(0)=-1$ y $f(1) =\pi/4$ lo que implica que hay un punto $x\in (0,1)$ donde $f(x)=0$ (por IVT) que le da

$$ \arctan(x)+x-1 = 0 $$

tiene una raíz real.