¿Cómo se calcula la matriz jacobiana?

Question

Quiero calcular la matriz jacobiana de $F_a$ para $x = (r\cos\theta, r\sin\theta)$ . $F_a$ es la transformación definida a continuación.
$$F_a(r\cos\theta, r\sin\theta) := (a(\theta)r\cos\theta, a(\theta)r\sin\theta) \ \ \ (\theta \in [0, 2\pi))$$
$a(\theta)$ es diferenciable.
El libro que estoy leyendo ahora sugiere que la respuesta está abajo.
$${\rm d}F_a(x) = \begin{pmatrix} a(\theta)\cos\theta & a'(\theta)\cos\theta - a(\theta)\sin\theta \\\ a(\theta)\sin\theta & a'(\theta)\sin\theta - a(\theta)\cos\theta \end{pmatrix}$$ Sin embargo, no tengo ni idea de por qué puedo obtener esta respuesta. ¿Podría mostrarme cómo hacerlo?

Answer 1

Dejemos que $F = (f_1, f_2, f_3)$ . Entonces las filas del jacobiano son $$(\frac{\partial f_i}{\partial r}, \frac{\partial f_i}{\partial \theta}).$$

Calcúlalos y deberías obtener la transposición de lo que has escrito. Tal vez, el libro utiliza una convención diferente.