Prueba breve y sencilla de que el rango de la matriz $\geq n-1$

Question

Un $n \times n$ tiene ceros en la diagonal principal y las entradas fuera de la diagonal son $1$ o $1980$ . Demostrar que su rango es $\geq n-1$ .

Gracias por ayudar.

Answer 1

Tenga en cuenta que $1979$ es un número primo. Consideremos ahora la matriz módulo $1979$ . Entonces es la matriz $J-I$ donde $J$ es la matriz de todos los $1$ 's. Ahora $J$ tiene un valor propio que es $n$ y $n-1$ valores propios que son $0$ así que $J-I$ tiene un valor propio que es $n-1$ y $n-1$ valores propios que son $-1$ . Esto significa que el rango de esta matriz módulo $1979$ es al menos $n-1$ (si $n-1$ no es $0$ modulo $1979$ entonces el rango es $n$ ). Se deduce que el rango de la matriz es $\ge n-1$ .