Perímetro más pequeño posible de un cuadrilátero inscrito en un rectángulo

Question

Un rectángulo $ABCD$ se da. Dejemos que los puntos $P$ en $AB$ , $Q$ en $BC$ , $ R $ en $CD$ y $ S$ en $AD$ sean puntos interiores de los lados del rectángulo.
Para qué posiciones de los puntos $P, Q, R \ and \ S$ hace el cuadrilátero $PQ\ RS$ ¿tiene el perímetro más pequeño?

He intentado reflejar los puntos para demostrar que el perímetro es siempre el mismo. Resulta que el perímetro es siempre $2AC$ (la diagonal del rectángulo) pero no permanece igual.

Answer 1

Lo tenemos:

$$SD^2+DR^2=SR^2$$

$$RC^2+CQ^2=RQ^2$$

$$PB^2+BQ^2=PQ^2$$

$$AP^2+SA^2=SP^2$$

Si resumimos ambas partes, obtenemos:

$(SD^2+SA^2)+ (DR^2+RC^2) +. . .=SR^2+RQ^2+PQ^2+PS^2$

Ahora considere $SD^2+SA^2$ a partir de la suma de los LHS de las relaciones anteriores, podemos escribir:

$$(SA+SD)^2=SD^2+SA^2+2SA\times SD$$

$SA\times SD$ es máximo si $SD=SA$ porque $SD+SA$ es constante. En este caso $SD^2+SA^2$ será mínimo, es decir, si los vértices del cuadrilátero están en los puntos medios de los lados del rectángulo su perímetro será mínimo. Ahora demostramos que si en un paralelogramo con lados a, b, c, d (a=c y b=d) $(a^2+b^2+c^2+d^2)$ es mínimo, entonces $(a+b+c+d)$ es mínimo; tenemos:

$(a+b+c+d)^2=(2a+2b)^2=4(a^2+b^2)+8ab$

Desde $a^2$ y $b^2$ y $ab$ son mínimos por lo tanto $(a+b+c+d)$ es mínimo.

Desde el punto de vista geométrico, el paralelogramo resultante puede considerarse como un rectángulo transformado cuando los vértices se mueven a lo largo de los lados del rectángulo. El perímetro es máximo cuando los vértices del paralelogramo coinciden con los vértices del rectángulo y se convierte en mínimo cuando los vértices del paralelogramo están en los puntos medios y aumenta cuando los vértices continúan moviéndose hacia los vértices adyacentes.

Answer 2

Digamos que tenemos un rectángulo con longitud $AB = CD = a$ y la anchura $BC = DA = b$ y un cuadrilátero $PQRS$ inscrito como se muestra en el diagrama. Di, $ \, AP = x, AS = y$ .

Reflejamos el punto $P$ a través de ambos $DA$ y $CB$ . Así que,

$PA = AP'$ y $PB = BP"$ . Ahora $\triangle APS \cong \triangle AP'S$ y eso no cambia incluso si deslizamos el punto $S$ en línea $DA$ hacia arriba o hacia abajo. Lo mismo ocurre con $\triangle BPQ \cong \triangle BP''Q$ .

$RS + SP = P'S + SR \ge P'R$ .

La igualdad se produce cuando deslizamos el punto $S$ en línea $DA$ tal que $S$ se cae en línea $P'R$ . Lo hacemos de forma similar para el punto $Q$ tal que

$PQ + QR = P''R$ .

Así, el perímetro del cuadrilátero se reduce a $P'R + RP''$ .

La base del triángulo $P'P''R = P'A + AP + PB + BP" = 2 (AP + PB) = 2AB = 2a$ .

La altura del triángulo es $b$ .

Ahora sabemos que para un área dada del triángulo (base y altura fijas), el triángulo isósceles tiene el mínimo perímetro (de hecho, también podemos demostrarlo usando la reflexión).

Así que, $P'T = P''T = a$ . Eso da $P'R = P''R = \sqrt{a^2+b^2}$ y por tanto el perímetro mínimo del cuadrilátero es $2\sqrt{a^2+b^2}$ .

También podemos demostrar que $AS = CQ, AP = CR$ y que PQRS es un paralelogramo.

Como $\triangle P'SA \sim \triangle PRT$ , $\displaystyle \frac{AS}{AP'} = \frac{RT}{P'T} \implies \frac{y}{x} = \frac {b}{a}$ . Los puntos P, Q, R, S deben cumplir esta condición asegurando el paralelogramo y para que el perímetro del cuadrilátero sea mínimo .

Así que, $x = \frac {a}{2}, y = \frac{b}{2}$ es definitivamente es una de las soluciones pero NO es la única solución .

EDITAR:

Aquí se muestra un diagrama de cuadrilátero con perímetro mínimo inscrito en un rectángulo pero sus vértices no están en los puntos medios del rectángulo. Obsérvese que cumple la condición de razón que he mencionado y los ángulos anteriores (paralelogramo) y por tanto funciona.

Answer 3

Por el principio de Fermat de la óptica, la luz tarda el mínimo tiempo en reflexión Es decir, cuando los ángulos de incidencia/reflexión sean todos iguales, deberíamos tener una simetría completa con los puntos centrales de los lados como puntos de incidencia/rebote.

$$ L= \sqrt{(w-a)^2+(h-q)^2+...+...+...+...+...+...} $$

El rectángulo delimitador mide $(2w\times 2h )$ . Diferenciar parcialmente la longitud total $L$ con respecto a las desviaciones de las variables $(a,b,p,q)$ son iguales a cero, por lo que podemos establecer que las desviaciones desaparecen para un total mínimo $L$ .