Función de densidad de probabilidad, funciones de distribución acumulativa

Question

Una pregunta rápida con respecto a la función de distribución acumulativa.

Para encontrar la función de densidad de probabilidad de $X$ lo haces:

(1) $Pr(x\ <\ X\ <\ x+h)\ =\ F_x(x+h)\ -\ F_x(x)\ =\ h\frac{dF_x(x)}{dx}$

o

(2) $Pr(a\ \leq\ X\ \leq\ b)\ =\ \int_{a}^{b}f(x)dx$

Me estoy confundiendo ya que muchos sitios dicen la opción 2, pero me han dado la opción 1.

¿O es lo mismo y no entiendo la relación?

Answer 1

Para los pequeños $h$ bajo condiciones adecuadas de continuidad, la primera es una buena aproximación . La segunda es totalmente correcta.

La primera puede ser una forma de pensar útil: si $f_X(x)$ es el densidad función de $X$ entonces $\Pr(x\lt X \lt x+h)\approx hf_X(x)$ . En general, $F_X(x)$ tiene un claro significado probabilístico, es más difícil de visualizar $f_X(x)$ de forma probabilística.