Es Stokes Teorema natural en el sentido de la categoría de la teoría?

Question

Stokes Teorema afirma que para que un compacto-compatible diferencial de la forma $\omega$ de grado $n-1$ en un suave orientado $$n-dimensional colector $M$ tenemos la maravillosa ecuación $$\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega.$$ ¿No le parece una connaturalidad condición en el sentido de la categoría de la teoría? De alguna manera, la integración natural con respecto a los límites (o viceversa?). Podemos hacer este preciso?

Lo que he probado hasta ahora: Si $\Omega_0^k(M)$ denota el espacio vectorial de compacto-compatible formas diferenciales de grado $k$ en $M$ y $d : \partial M \hookrightarrow M$ denota la inclusión de la frontera, Stokes Teorema dice que el diagrama

$$\begin{array}{cc}\phantom{\dfrac{a}{b}}\Omega_0^{n-1}(M) & \xrightarrow{\Large d} & \Omega_0^n(M)\phantom{\dfrac{a}{b}}\\ d^* \downarrow ~~~~~ && ~~~~~\flecha \int_{M} \\ \Omega_0^{n-1}(\partial M) & \xrightarrow{\Large \int_{\partial M}} & \mathbb{R}\end{array}$$

los desplazamientos. Es eso correcto? (No estoy seguro acerca de los $d^*$). Esto se parece más a dinaturality, pero no estoy seguro de cómo hacer una precisión de la conexión. Quizás el cobordism categoría va a ser útil?

Cualquier otra interpretación categórica de Stokes Teorema también sería apreciada. Aviso de que tales interpretaciones no son inútiles, a priori, y tal vez podría incluso conducir a más conceptual de las pruebas. Véase, por ejemplo,

• Roeder, David. "La categoría de la teoría aplicada a la dualidad de Pontryagin." Pacific Journal of Mathematics 52.2 (1974): 519-527.

• Hartig, Donald G. "La representación de Riesz teorema revisado". American Mathematical Monthly (1983): 277-280.

Answer 1

He aquí un intento de hacer que el "dinaturality" observación (más) precisa. Voy a estar dejando fuera muchos detalles que no me han funcionado, así que puede ir mal en algún lugar; espero que el esquema general tiene sentido, sin embargo.

• Deje que $\mathcal$ N ser el poset de números naturales en la costumbre de ordenar (o $\mathcal$ N podría ser la universal de la cadena de complejos, es decir, la categoría con los mismos objetos dados por números naturales, $\mathrm{Hom}(n,m) = \mathbb{R}$ si $m \in \{n,n+1\}$, $0$ más, y todos los compuestos con nonidentity mapas igual a cero. A continuación, todos los functors aquí son de $\mathbb R$-lineal).
• Deje que $\mathcal V$ ser la categoría de espacios vectoriales topológicos o algunos adecuado de similar categoría.
• Revisión de un colector de $X$ (o algún otro tipo de espacio liso).

Entonces tenemos functors

• $C: \mathcal N^\mathrm{op} \\mathcal V$ donde $C_n$ es el vector de espacio libremente generada por la suave mapas de $Y \X$ donde $$ Y es un compacto, $$n-dimensional, orientado manifold con frontera, y la inducida por el mapa de $\parcial: C_{n+1} \a C_n$ es el mapa de los límites.
• $\Omega: \mathcal N \a \mathcal V$ es el complejo de de Rham; $\Omega_n = \Omega_n(X)$ es el espacio de $n$-formas en $X$ y la inducida por el mapa de $\mathrm d: \Omega_n \a \Omega_{n+1}$ es el exterior de derivados.

Suponiendo que $\mathcal V$ tiene un adecuado producto tensor definido, se obtiene un functor

• $C \otimes \Omega: \mathcal N ^\mathrm{op} \times \mathcal N \a \mathcal V$.

mientras que también existe la constante functor

• $\mathbb R: \mathcal N ^\mathrm{op} \times \mathcal N \a \mathcal V$

Luego de Stokes teorema dice que tenemos un extranatural transformación

• $\int : C \otimes \Omega \to \mathbb R$, la cual, dado un mapa de $Y \X$ y $\omega$ en $X$, tira el formulario a $Y$ y la integra (devuelve 0 si es el mal de la dimensión).

Curiosamente, esto significa que la integración debe descender a un mapa de la coend $\int : \int^{n \in \mathcal N} C_n \otimes \Omega_n \to \mathbb R$ (primera integral significa la integración de formas diferenciales, mientras que el segundo significa un coend). No estoy seguro de cuál es el valor de este coend o cuánto depende de los detalles que he dejado ambigua. Supongo que es probable que tenga algo que ver con el de Rham cohomology de $X$?

Answer 2

En la definición de dinatural transformación ha vinculado, es el siguiente:

Deje que $F, G: C^{op} \times C \D$ ser functors. Un dinatural transformación de F a G (...)

Honestamente no puedo encontrar tal cantidad de functors. Pero como estándar para la connaturalidad en primer lugar tenemos dos paralelas functors $(F,G:C\rightarrow D)$. En nuestro caso no es uno firmemente asentado functor contravariante $\Omega: Liso\rightarrow DGA,$ donde $DGA$ es de la categoría de Diferencial graduada de álgebras, pero el problema radica en que señala la segunda. Podemos intentar construir segundo a ser la composion $\Omega\circ\parcial,$ donde $\parcial:Liso\rightarrow Liso$ toma $M$ a $\partial M.$, Pero es de sentido? No, en absoluto! Causa no sabemos cómo construir $\partial(f): \partial M\rightarrow \parcial N$ de $f:M\rightarrow N.$

Puedo ver de otra manera el diagrama que has representado. Si tenemos dos emparejamientos en los conjuntos $<>_1:A_1\times B_1\rightarrow C, <>_2:A_2\times B_2\rightarrow C$ y tres funciones $F:A\rightarrow A_1,G:A\rightarrow A_2,$ y $H:B_1\rightarrow B_2$ tal que para cada $a\in a, b\in B_1$ $$<F(a),b>_1=<G(a),H(b)>_2$$, a continuación, fija $b\en B_1$ podemos trazar este como \begin{array}{cc}\phantom{\dfrac{a}{b}} & \xrightarrow{\Large F} & A_1\phantom{\dfrac{a}{b}}\\ G \downarrow ~~~~~ && ~~~~~\flecha <*,b>_1 \\ A_2 & \xrightarrow{ \Large<*,H(b)>_2 }& C\end{array}

Functoriality (sin mencionar los de connaturalidad) no parece funcionar aquí, pero el hecho es que en el caso de lisa colectores de $H$ induce $G,$, que es sólo la retirada de la inclusión.