¿Se cumple el teorema fundamental del cálculo para una función débilmente diferenciable?

Question

¿Se cumple el teorema fundamental del cálculo para una función débilmente diferenciable?

Es decir $\int^b_a$$ f' $=$ f(b)-f(b) $ for $ ¿F$ es débilmente diferenciable?

Answer 1

En cierto sentido, sí. Precisamente, tenemos el siguiente resultado:

Dejemos que $I$ sea un intervalo (posiblemente no limitado) y $f\in W^{1,p}(I)$ con $1 \leq p \leq \infty$ . Entonces existe una función $\tilde{f}\in C(\overline{I})$ tal que $f = \tilde{f}$ a.e. en $I$ et $$\int_y^x f'(t)\,dt=\tilde{f}(x)- \tilde{f}(y),\qquad \forall\ x,y\in \overline{I}.$$

En particular, podemos afirmar:

Dejemos que $f$ sea una función en $L^p(a,b)$ ( $1 \leq p \leq \infty$ ). Supongamos que $f$ tiene una derivada débil $f'$ que también pertenece a $L^p(a,b)$ . Entonces existe una función $\tilde{f}\in C([a,b])$ tal que $f = \tilde{f}$ a.e. en $(a,b)$ et $$\int_a^b f'(t)\,dt=\tilde{f}(b)- \tilde{f}(a).$$

La prueba se encuentra en Libro Brezis (Teorema 8.2).

¿Puedes entender por qué necesitamos $\tilde{f}$ (en lugar de $f$ ) en la parte derecha de la fórmula?