¿Qué hace $E[X] = \int_0^\infty xdF_X(x)$ ¿quieres decir?

Question

Dejemos que $X$ sea una variable aleatoria no negativa con función de distribución acumulativa $F_X$ . ¿Qué es lo que $E[X] = \int_0^\infty xdF_X(x)$ ¿quieres decir?

La definición que tengo para la expectativa de una variable aleatoria postiza es: $E[X] = \sup\{ E[Y]:Y \text{ is a simple function}, 0 \leq Y \leq X \}$ .

Y para un v.r. simple tenemos $E[Y]=\sum_I^ma_iP(A_i)$

No veo cómo hemos llegado desde la definición hasta $E[X] = \int_0^\infty xdF_X(x)$

Answer 1

Su definición de $E[X]$ es en realidad la integral con respecto a la medida $P$ . Es decir $$E[X] = \int_{\Omega} X dP$$ Una fórmula bien conocida para calcularla es $$\int_{\Omega} X dP = \int_{\mathbb{R}} x dP_X(x)$$ Donde $P_X$ es la distribución de $X$ En otras palabras $P_X(A)=P(X\in A)$ . Ahora la notación $\int_\mathbb{R} x dF_X(x)$ se refiere a la integral de Lebesgue-Stieltjes asociada a la función de distribución $F_X$ . Resulta, por la unicidad de las medidas de Lebesgue-Stieltjes, que la medida de Lebesgue-Stieltjes de $F_X$ es de hecho la distribución de probabilidad $P_X$ .

Por lo tanto, las dos integrales $\int x dF_X(x)$ y $\int x dP_X(x)$ son integrales con respecto a la misma medida, y por tanto idénticas.