$(<\kappa)$ -Clausura para Prikry forzando

Question

Un p.o. $\mathcal{P}$ es $(<\kappa)$ -si para cada secuencia decreciente de $<\kappa$ condiciones en el forzamiento $p_0 \geq p_1 \geq \cdots$ , hay una condición que está por debajo de todas ellas. Forzamiento del prikry $\mathcal{P}$ es el conjunto de pares $(s,A)$ donde s es un subconjunto finito de a cardinal medible fijo $\kappa$ y $A$ es un elemento de un filtro fijo $D$ en $\kappa$ . Una condición $(s,A)$ es más fuerte que $(t, B)$ si $t$ es un segmento inicial de $s$ y $A \cup (s-t) \subseteq B$ . ¿Por qué el forzamiento de Prikry no tiene esta propiedad? ¿Podría alguien ayudarme con esto?

Answer 1

Considere las condiciones $(s_i, \kappa)$ donde $s_i=\{0, . . . , i\}$ para $i\in\omega$ . Se trata de una secuencia de $\omega$ -muchas condiciones, y claramente $(s_{i+1}, \kappa)\le (s_i, \kappa)$ pero es evidente que no existe una condición única por debajo de todas las $(s_i, \kappa)$ : eran $(p, A)$ tal condición, entonces $p$ tendría que ser infinito, lo que contradice la definición de condición.

Nótese que podríamos alterar el forzamiento para considerar condiciones de la forma $(p, A)$ con $A$ como en el caso anterior, y $p$ un subconjunto de $\kappa$ de tamaño $<\kappa$ . Este forzamiento sería entonces $<\kappa$ -cerrado (dependiendo, supongo, del filtro $D$ ), pero se trata de un forzamiento muy diferente.