No Suave En el Mapa de Círculo de Toro

Question

Mi profesor estaba dando una conferencia el día de hoy y él hizo esta declaración en la que he podido comprobar. (He redactado más agradable)

No hay un mapa que es suave y en de $S^1$ a $S^1$$\times$ $S^1$.

Cuando dijo esto incluye el original "uno puede ver claramente" la declaración de que es por lo general cuando la mayoría de la gente parece que se confunden en su clase. Por lo tanto, yo era reacia a preguntar por qué. Así que, por favor, que nadie me criticaban en el hecho de que yo debería haber preguntó de todos modos. Si es muy obvio, yo buscaría algo estúpido aquí que en clase :)

Answer 1

Esto se deduce a partir del teorema de Sard, lo que implica que la imagen de un buen mapa de $S^1 \to S^1 \times S^1$ tiene medida de Lebesgue cero. Más generalmente, los Adrs del teorema implica que no hay ninguna suave en mapas a partir de una suave colector de dimensión $n$ a un suave colector de dimensión $m > n$.

La afirmación obvia, es que no hay diffeomorphisms entre dichos colectores, que sólo sigue mediante el cálculo de los diferenciales (la diferencial de una diffeomorphism es un isomorfismo). La diferencial de una surjective suave mapa no es surjective en general (considere el surjection $\mathbb{R} \ni x \mapsto x^3 \in \mathbb{R}$) por lo que el obvio argumento no funciona (o al menos no obviamente de trabajo).

Tenga en cuenta también que esta declaración es falsa si "suave" es reemplazado por el "continuo" debido a la existencia de espacio en el llenado de las curvas.

Answer 2

Un suave mapa de $S^1 \rightarrow S^1 \times S^1$ es una curva diferenciable; por la diferenciabilidad se debe tener finito de longitud de arco. Pero una curva de longitud finita no puede cubrir la 2-dimensional de toro.