$\lambda_i=\kappa_i+1$ , $I=\omega$ y $\sum\kappa_i=\aleph_1$ , $\prod\lambda_i=2^{\aleph_0}$

Question

Lo siguiente es parte de la respuesta de esta pregunta ,

Tenga en cuenta que si simplemente requiere que $\kappa_i$ son ordinales y que $\kappa_i<\lambda_i$ podemos obtener una situación impar, con $\lambda_i=\kappa_i+1$ , $I=\omega$ y $\sum\kappa_i=\aleph_1$ , $\prod\lambda_i=2^{\aleph_0}$ pero los dos cardenales son incomparables en ese caso.

No puedo pensar en lo que $\kappa_i$ debe ser para que estas igualdades se mantengan. Esto merece una pregunta aparte.

Gracias de antemano.

Answer 1

Este es un resultado de consistencia. No es un ejemplo real, ya que bajo el axioma de elección la suma contable de ordinales contables es contable y no $\aleph_1$ . Pero su pregunta fue sobre el fracaso del teorema de König sin elección.

En resumen, si tomamos un cardenal singular $\lambda$ podemos convertirlo en $\aleph_1$ de un universo de $\sf ZF$ en cuyo caso su cofinalidad será contable. Eso significa que habrá alguna secuencia así, aunque no es necesario que esta secuencia sea de alguna manera "fácil de definir".