Los problemas de valores propios se consideraron por primera vez de forma seria en los problemas de separación de variables que surgen de las ecuaciones diferenciales parciales. El parámetro de separación era el valor propio, y el análisis general de la función propia surgió del método de Fourier. Los métodos matriciales surgieron de este método, que es la dirección opuesta de abstracción que uno esperaría naturalmente.
Con el tiempo, el problema de los valores propios se generalizó para tratar el λ para lo cual (L−λI) es no invertible. Las técnicas para demostrar la validez de las expansiones de funciones propias resultaron estar relacionadas con la representación del operador resolvente λ↦(L−λI)−1 a través de su información singular. Las funciones holomórficas están determinadas básicamente por sus singularidades, y R(λ)=(L−λI)−1 es una función holomorfa de λ con valores en los operadores, y sus singularidades determinan el resolvente completamente para operadores "agradables" como los normales, autoadjuntos, y para matrices bastante generales.
En el caso de los operadores autoadjuntos y normales, las singularidades se producen cuando hay vectores propios y vectores propios "aproximados". El conjunto de singularidades del resolvente es el espectro del operador. Por ejemplo, consideremos el primer problema espectral serio a través del resolvente del operador de diferenciación L=1iddt en el dominio que consiste en funciones periódicas absolutamente continuas f∈L2[−π,π] para lo cual f′∈L2[−π,π] . Para un determinado g el resolutivo f=R(λ)g , donde R(λ)g=(L−λI)−1g es la única solución de 1if′−λf=gf(−π)=f(π). Esta es una EDO de primer orden que se resuelve fácilmente, al menos para λ≠0,±1,±2,±3,⋯ que es el espectro de L . La resolución de esta ecuación sólo requiere un factor integrador e−iλt . El operador resolente es \begin{align} f=R(\lambda)g % & = e^{i\lambda(x+\pi)}f(-\pi)+e^{i\lambda x}\int_{-\pi}^{x}ie^{-i\lambda t}g(t)dt \\ & = e^{i\lambda x}\frac{e^{2\pi i\lambda}}{1-e^{2\pi i\lambda}} \int_{-\pi}^{\pi}ie^{-i\lambda t}g(t)dt+e^{i\lambda x}\int_{-\pi}^{x}ie^{-i\lambda t}g(t)dt \end{align} Es sorprendente que una EDO de primer orden con una condición periódica simple tenga un aspecto tan complejo. Pero aquí es donde se pone interesante. Observa que R(λ)g tiene singularidades en λ=0,±1,±2,⋯ y todos los polos son de primer orden (o posiblemente singularidades removibles.) Y el residuo en un número entero n es lim Obsérvese que la suma de todos los residuos de R(\lambda)g es el negativo de la serie de Fourier para g : -\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left[\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(t)e^{-int}dt\right] e^{inx}. Al parecer, Cauchy descubrió esta fórmula, y fue la primera pista de que el operador resolvente desempeñaba un papel importante en el análisis de Fourier. Esta fórmula intrigó a Cauchy, pero nunca encontró la forma de aprovecharla para demostrar algo sobre la convergencia de las series de Fourier. Los matemáticos, un siglo más tarde, sí lo hicieron para expansiones de Fourier muy generales procedentes de EDOs de Matemáticas-Física.
Las singularidades del resolvente no sólo caracterizan el resolvente, sino que para los operadores autoadjuntos, la "suma" de todos los residuos suma el operador identidad, que es una forma de utilizar lo anterior para demostrar que la serie de Fourier converge a la función original. Los residuos generalizados resultan funcionar para operadores autoconjuntos arbitrarios. E[a,b]g = \lim_{\epsilon\downarrow 0}\frac{1}{2\pi i}\left(\int_{a+i\epsilon}^{b+i\epsilon}-\int_{a-i\epsilon}^{b-i\epsilon}\right)R(\lambda)gd\lambda. La suma de todos estos residuos da como resultado g : \lim_{\begin{array}{c}a\rightarrow -\infty \\ b\rightarrow+\infty\end{array}} E[a,b]g = g. Así que se obtiene la integridad de las expansiones de la función propia utilizando esta técnica de los residuos. Y E[a,b]f es esencialmente la medida espectral, que se obtiene constructivamente del resolvente a través de este límite de residuo generalizado.
Una de las pruebas del Teorema Espectral utiliza un teorema de representación demostrado hacia 1910 por un matemático llamado Herglotz. El resolvente de un operador lineal autoadjunto A satisface \|(A-\lambda I)^{-1}\| \le \frac{1}{|\Im\lambda|} \\ \Im ((A-\lambda I)^{-1}f,f) \ge 0, \\ \lim_{\Im\lambda \uparrow\infty } -\lambda (A-\lambda I)^{-1}f = f \mbox{ in vector norm }.
Teorema: Dejemos que \phi(z) sea una función holomorfa en el semiplano superior. Entonces existe un meausre de Borel positivo finito \mu tal que \phi(z) = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{d\mu(t)}{t-z},\;\;\; \Im z > 0, si existe una constante M tal que \phi satisface lo siguiente para todo z en el medio plano superior: \Im\phi(z) \ge 0 \\ |\phi(z)| \le \frac{M}{\Im z}. Para cualquier \phi existe el siguiente límite \lim_{v\uparrow\infty}v\Im\phi(u+iv) = \int_{-\infty}^{\infty}d\mu(t),\\ \lim_{\epsilon\downarrow 0} \frac{1}{\pi}\int_{a}^{b}\Im\phi(u+i\epsilon)du = \frac{1}{2}\mu\{a\}+\mu(a,b)+\frac{1}{2}\mu\{b\}.
Para el operador autoadjunto, el resolvente R(\lambda)=(A-\lambda I)^{-1} da lugar a funciones \phi como se ha descrito anteriormente, definiendo \phi_{x}(\lambda)=\langle(A-\lambda I)^{-1}x,x\rangle = \langle \frac{1}{A-\lambda I}x,x\rangle A continuación, se obtiene \langle \frac{1}{A-\lambda I}x,x\rangle =\int_{-\infty}^{\infty}\frac{d\mu_{x}(t)}{t-\lambda},\;\;\; \lambda\notin\sigma(A). Propiedades del resolvente en \infty te dan \|x\|^{2}=\int_{-\infty}^{\infty}d\mu_{x}(t). Esta identidad es la que da la completitud de las expansiones espectrales, al igual que para la serie de Fourier ordinaria utilizando el resolvente dado anteriormente.
