Justificación del intercambio de la expectativa y el límite en la aproximación integral de Ito

Question

El motivo de mi pregunta es que no consigo justificar la extensión de los resultados de la integral de Ito de las funciones elementales a la forma continua después de tomar el límite. Por ejemplo, si demuestro que la integral de Ito de una función simple para finitos $n$ es una martingala, no entiendo cómo extender esto para cuando tomamos el límite como $n \to \infty$ . Esta es mi pregunta más importante.

He buscado por todas partes una justificación directa de: \begin{align*} \mathbb E\left[\int_{0}^{t}f(W_s,s) \, dW_s \right] &=\mathbb E\left[\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{i=1}^{n}{f(W_{t_{i-1}},{{t}_{i-1}})(W({{t}_{i}})-W({{t}_{i-1}})})\right] \\ &= \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }} \mathbb E\left[\sum\limits_{i=1}^{n}{f(W_{t_{i-1}},{{t}_{i-1}})(W({{t}_{i}})-W({{t}_{i-1}})})\right] \end{align*}

donde, $f$ es integrable al cuadrado, por lo que $\mathbb E [ \int_s^tf^2(\omega, r)dr] \leq \infty$ , $f$ se adapta a la filtración natural generada por $W$ y también medible con respecto al espacio de probabilidad subyacente.

donde se intercambia el límite y la expectativa, pero no he podido encontrar nada lo suficientemente preciso. He visto menciones a la utilización de la Convergencia Dominada pero no a cuál es la variable aleatoria límite.

Sé que la secuencia converge a la integral de Ito, pero la integral de Ito no es necesariamente con expectativa finita o tal que $$\left|\int_{0}^{t}f_s \, dW_s \right| \geq \sum\limits_{i=1}^{n}{f(W_{t_{i-1}},{{t}_{i-1}})(W({{t}_{i}})-W({{t}_{i-1}})})$$ para todos $n$ .

He intentado utilizar el valor absoluto de la integral de Ito y otros tipos de funciones simples, pero no consigo elegir una que se ajuste definitivamente a los criterios del SES.

¡Muchas gracias!

Answer 1

La sustitución del límite por la expectativa suele justificarse eligiendo una secuencia aproximada de funciones simples $(f_n)_n$ tal que las integrales estocásticas correspondientes $\int_0^t f_n(s) \, dW_s$ convergen a $\int_0^t f(s) \, dW_s$ en $L^2(\mathbb{P})$ .

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Si $f: \Omega \times [0,\infty) \to \mathbb{R}$ es una función progresivamente medible tal que

$$\mathbb{E} \left( \int_0^T f(s)^2 \, ds \right) < \infty$$

para todos $T>0$ entonces existe una secuencia de funciones simples $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tal que

$$\mathbb{E} \left( \int_0^t |f_n(s)-f(s)|^2 \, ds \right) \xrightarrow[]{n \to \infty} 0$$

para todos $T>0$ . Por la propia definición de la integral de Itô, esto implica que

$$\int_0^T f(s) \, dW_s = L^2(\mathbb{P})- \lim_{n \to \infty} \int_0^T f_n(s) \, dW_s \tag{1}$$

para todos $T>0$ . Nótese que esto implica, en particular, que

$$\mathbb{E} \left( \int_0^T f(s) \, dW_s \right) = \lim_{n \to \infty} \mathbb{E}\left( \int_0^t f_n(s) \, dW_s \right). \tag{2}$$

En general, no existe una fórmula explícita para $f_n$ . Si $f$ es continua de media secuencia, es decir

$$\lim_{s \to t} \mathbb{E}(|f(s)-f(t)|^2) = 0, \qquad t>0,$$

entonces se puede demostrar que

$$f_n(s) := \sum_{j=1}^{k(n)} f(t_{j-1}^{(n)}) 1_{[t_{j-1}^{(n)},t_j^{(n)})}(s)$$

hace el trabajo para cualquier secuencia de particiones $\Pi_n = \{0=t_0^{(n)}<\ldots<t_{k(n)}^{(n)}=T\}$ con un tamaño de malla que tiende a cero. En este caso, $(1)$ lee

$$\int_0^t f(s) \, dW_s = L^2(\mathbb{P})-\lim_{n \to \infty} \sum_{j=1}^{k(n)} f(t_{j-1}^{(n)}) (W_{t_j^{(n)}}-W_{t_{j-1}^{(n)}})$$

y $(2)$ se convierte en

$$\mathbb{E} \left( \int_0^t f(s) \, dW_s \right) = \lim_{n \to \infty} \sum_{j=1}^{k(n)} \mathbb{E} \bigg[ f(t_{j-1}^{(n)}) (W_{t_j^{(n)}}-W_{t_{j-1}^{(n)}}) \bigg]. $$

Todos los resultados mencionados pueden encontrarse, por ejemplo, en la monografía Movimiento browniano - Introducción a los procesos estocásticos por Schilling & Partzsch.