Divergencia de la secuencia $a_n=\frac{1-n^3}{70-4n^2}$

Question

¿Es correcto decir que

$$a_n=\frac{1-n^3}{70-4n^2}$$

diverge ya que el numerador aumenta más rápido que el numerador? Eso significaría que se acerca al infinito, ¿no?

Answer 1

Sí, tienes razón.

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1-n^3}{70-4n^2}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\frac{1-n^3}{n^2}}{\frac{70-4n^2}{n^2}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{n^2}-\frac{n^3}{n^2}}{\frac{70}{n^2}-\frac{4n^2}{n^2}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{n^2}-n}{\frac{70}{n^2}-4}=\infty$$

Answer 2

A la derecha. Por ejemplo, dividir por $n^3$ . Entonces tenemos: $$\frac{\frac1{n^3}-1}{\frac{70}{n^3}-\frac4n}\to\frac10=\infty$$ .

Para ser un poco más riguroso, aplique la regla de L'Hôpital un par de veces: $$\frac{-6n}{-8}\to\infty$$ .