Límite de una función medible y la integral de Lebesgue

Question

Supongamos que $\{f_n\}$ es una secuencia de funciones medibles de Lebesgue tal que $f_n\rightarrow f$ excepto en un conjunto de medidas $0$ , ya que $n\rightarrow\infty$ y $|f_n(x)|\leq g(x)$ , donde $g$ es integrable.

Denote $E_N = \{x: |x| \leq N, g(x)\leq N\}$ . Si puedo demostrar que $m(E_N^c)\rightarrow\infty$ como $n\rightarrow\infty$ ¿eso me dice algo sobre la integral de lebesgue en ese conjunto?

En concreto, ¿puedo determinar que $$\int_{E_N^c} |f_n -f| \leq \epsilon$$

para algunos $\epsilon > 0$ y todos los grandes $n$ ?

Answer 1

En primer lugar, si $g\geq 0$ es integrable, entonces dado $\varepsilon>0$ , existen $N$ tal que

$$\int_{E_N^c} g < \varepsilon.$$

En efecto, definir $g_k:=g\chi_{E_k}$ . Así, $g_k\nearrow g$ y, por el teorema de convergencia monótona, existe $N$ tal que.., $$0\leq \int (g - g_N)< \varepsilon.$$ Desde $1-\chi_{E_N} = \chi_{E_N^c}$ obtenemos la estimación.

Por último, hay que tener en cuenta que $|f|\leq g$ y por lo tanto $|f_n - f|\leq 2g$ . Entonces, concluimos que existe $N$ , de tal manera que $$\int_{E_N^c} |f_n - f|\leq 2\int_{E_N^c} g < 2\varepsilon,\ \ \ \ \forall n$$

Observe que $E_N \nearrow \mathbb{R}^d$ y así $|E_N^c|\rightarrow 0$ , ya que $N \rightarrow \infty$ .