Límites de la medida de Lebesgue

Question

Dejemos que $(\mathbb{R}^d, \mathfrak{M}, m)$ sea un espacio de medidas de Lebesgue y $A \subset \mathfrak{M}$ con $m(A) < \infty$ .

Supongamos que $f : \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}$ como $f(x)=m(A \cap(x+A))$ con $x+A=\{x+a: a \in A\}$

Quiero mostrar $\lim _{|x| \rightarrow 0} f(x)=m(A)$

Al principio, sustituyo f(x) y obtengo $\lim _{|x| \rightarrow 0} f(x) = \lim _{|x| \rightarrow 0} m(A \cap(x+A)) = m(A)$ .

Si cambio el orden de la medida de Lebesgue y el límite, puedo demostrar el resultado.

En mi opinión, puedo utilizar el teroema de convergencia monótona de la medida construyendo una secuencia creciente de subconjuntos de $A$ pero me resulta difícil construir esa secuencia de los conjuntos.

¿Es correcto mi planteamiento? ¿O debería considerarse algún otro planteamiento?

Answer 1

El teorema de convergencia monótona no es útil.

En realidad, $f$ es una función continua en $\mathbb R^{n}$ . La prueba de esto requiere un resultado de aproximación.

Teorema

Si $f$ es una función intgerable acotada, entonces $g(x)=\int f(y)f(x-y)dy$ define una función continua.

[ Más genatrlly podemos considerar $g(x)=\int f(y)h(x-y)dy$ donde $f$ y $h$ son funciones integrables acotadas].

Una vez demostrado este teorema podemos tomar $f=\chi_A$ para terminar la prueba.

Para demostrar este teroema utilizamos ese hecho dado cualquier $\epsilon >0$ podemos encontrar una función continua $\phi$ con soporte compacto tal que $\int |f-\phi| <\epsilon$ . Tenga en cuenta que $|\int f(y)f(x-y)dy -\int f(y)\phi(x-y)dy |\leq M \epsilon$ para todos $x$ donde $M$ es un límite para $|f|$ . Si demostramos que $\int f(y)\phi(x-y)dy $ es una función continua de $x$ se deduce (dejando que $\epsilon \to 0$ ) que $g$ es continua porque el límite uniforme de las funciones continuas es continuo.

Pero la continuidad uniforme de $\int f(y)\phi(x-y)dy $ se deduce fácilmente de la continuidad uniforme de $\phi$ .