Por los no-constructiva, me refiero a los siguientes:
Un objeto matemático está demostrado que existe pero no está construido en la prueba.
Hay ejemplos de pruebas como esta en la que el objeto matemático nunca fue construido? (con lo que quiero decir, incluso después de la existencia de la misma fue probada)
El juego de Chomp es un ejemplo. Un corto y muy simple estrategia de robo argumento muestra que no importa el tamaño del tablero de juego, el primer jugador siempre tiene una estrategia ganadora; el argumento es dada en el artículo de la Wikipedia. Pero no hay ninguna estrategia general conocido para un tamaño arbitrario de la junta.
Hay muchos. En la prueba de que todo espacio vectorial tiene una base; en la prueba de que cada ideal que puede ser ampliado a un máximo ideal; en la prueba de que cada filtro puede ser extendido a un ultrafilter.
Todos aquellos utilizar el lema de Zorn y, de hecho, acaba de mostrar que tal objeto existe. Ninguna de estas pruebas puede construir el objeto real en detalles explícitos, porque es coherente que el lema de Zorn es falso y que este tipo de objetos no pueden existir algunas veces (es decir, algunos de los espacios vectoriales no tienen una base, y así sucesivamente). En general, el axioma de elección (que es equivalente al lema de Zorn) es responsable de un montón de no-constructivo de la matemática moderna, como el axioma afirma la existencia de ciertos objetos que no puede ser probado a existir de otra manera.
Si desea otro semi-no constructiva prueba puede utilizar el Cantor-Bernstein teorema para eso. Es muy fácil probar que existe un bijection entre el $\Bbb{N^N}$ $\mathcal P(\Bbb N)$ sin la construcción de uno, si usted está utilizando el Cantor-Bernstein. Mientras que realmente es posible construir bijection, es mucho más fácil de probar que no existe por otros medios.
En otra dirección se puede argumentar, por ejemplo, que la prueba de que una función continua de un cerrado y acotado intervalo de a $\Bbb R$ debe alcanzar su mínimo y máximo no es constructivo, porque realmente no construir el punto, acabamos de probar que no existe.
Ejemplos clásicos de la no-constructiva de las pruebas donde no hay construcción explícita es posible, naturalmente, vienen de las pruebas que se utilice básicamente el Lema de Zorn. Un ejemplo de ello sería el hecho de que todo espacio vectorial tiene una base. En particular, $\mathbb R$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb Q$, y por lo tanto existe una base para $\mathbb R$$\mathbb Q$. Esa base se llama una base de Hamel. Pero, sin tal base se da de forma explícita.
En la misma línea de pensamiento, pero, en mi opinión, lo más sorprendente, es el uso de Zermelo del Teorema a demostrar que debe existir una buena ordenación de los reales (y por lo tanto, que el dorado sueño de tener un control sobre que esquiva el primer número real positivo parece estar más cerca de...).
Sin embargo, nada de comprar en la $\;\Bbb R\;$, hasta donde yo soy consciente, es conocido. Por supuesto, del Teorema de Zermelo, el Lema de Zorn y El Axioma de Elección son todos lógicamente equivalente en ZFC.
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